Problema 3 de Matemàtiques CC.SS. de la Selectivitat 2025

Juny 2025, Sèrie 1 · Proves d'accés a la universitat (PAU) de Catalunya.

Enunciat

Exercici 3 Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg. FÒRMULES PER A RESOLDRE L'EXERCICI: * Z \sim \text{normal} (0, 1) \rightarrow P(-1,96 \leq Z \leq 1,96) = 0,95 i P(-2,58 \leq Z \leq 2,58) = 0,99 * Intervals de confiança amb un nivell de confiança \gamma \in (0, 1) — per a la proporció (mostres grans): \left[ \hat{p} - z_{\gamma} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\gamma} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància \sigma^2 coneguda): \left[ \bar{x} - z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància \sigma^2 desconeguda): \left[ \bar{x} - z_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} \right] a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l'atzar una vaca frisona d'aquesta granja, el seu pes estigui entre 531 i 629 kg. [1 punt] b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n'ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d'una mostra de 10 vaques de la granja escollides a l'atzar: 569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571. Trobeu un interval de confiança del 95% per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 25 kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta. [1,5 punts]

Les imatges de l'enunciat i la solució d'aquest problema són a la web.

Veure la solució del problema