Problema 6 de Matemàtiques CC.SS. de la Selectivitat 2022

Juny 2022, Sèrie 2 · Proves d'accés a la universitat (PAU) de Catalunya.

Enunciat

6. En els models matemàtics que s'utilitzen per a descriure l'evolució d'una malaltia, s'anomena R_0 el nombre mitjà de noves infeccions que cada persona infectada provoca en la població. Quan aquest nombre és inferior a 1, cada individu infectat transmet la malaltia, de mitjana, a menys d'una persona i la malaltia tendeix a desaparèixer. En canvi, si R_0 és més gran que 1, la malaltia s'estén i es produeix una epidèmia. Quan es descobreix una vacuna efectiva contra la malaltia, es pot controlar l'epidèmia vacunant només una proporció p de la població. És el que es coneix com a immunitat de grup. Efectivament, un cop vacunada una proporció p \in (0, 1) de la població, la nova R_0, que s'anomena efectiva i es denota amb R_e, és el producte de la R_0 original per la proporció d'individus que no estan vacunats, 1 - p. I s'aconsegueix controlar l'epidèmia si la R_e és inferior a 1. a) En el cas del xarampió, s'estima que R_0 = 15. Si analitzem una població amb un percentatge d'individus vacunats del 95 %, segons el model descrit, hi ha risc que es produeixi una epidèmia de xarampió en aquesta població? [0,75 punts] b) En el cas concret de l'anomenada grip espanyola del 1918, s'estima que R_0 = 4. Calculeu quin percentatge de població hauria calgut vacunar, com a mínim, per a aturar l'epidèmia d'aquesta malaltia. [0,75 punts] c) Expresseu, en general, el llindar de població mínima que cal vacunar en funció del valor R_0 d'una malaltia. Feu un esbós d'aquesta funció per als valors de R_0 entre 1 i 20. [1 punt] [Graella buida per a realitzar un esbós gràfic]

Les imatges de l'enunciat i la solució d'aquest problema són a la web.

Veure la solució del problema