Problema 6 de Matemàtiques de la Selectivitat 2022

Juny 2022, Sèrie 5 · Proves d'accés a la universitat (PAU) de Catalunya.

Enunciat

6. La columna de l'esquerra de la taula següent mostra l'esquema d'un programa informàtic que s'ha elaborat per a trobar solucions aproximades d'una equació f(x) = 0 en un interval (a, b), sabent que f(a) \cdot f(b) < 0. La columna de la dreta recull un exemple de funcionament del programa en què es pot veure com actuaria per trobar una solució de l'equació x + \ln(x) = 0 entre els valors a = 0,5 i b = 2. | Esquema del programa | Exemple | | :--- | :--- | | 1. Escriure «Introduïu un valor a» | L'usuari introdueix a = 0,5 | | 2. Escriure «Introduïu un valor b» | L'usuari introdueix b = 2 | | 3. Escriure «Introduïu una funció f(x)» | L'usuari introdueix f(x) = x + \ln(x) | | 4. Calcular c = (a + b)/2 | El programa calcula la mitjana entre a i b i li assigna el nom c = (0,5 + 2)/2 = 1,25 | | 5. Si f(a) * f(c) < 0, aleshores reassignar b = c; en cas contrari, reassignar a = c | El programa comprova que f(0,5) * f(1,25) = (0,5 + \ln(0,5)) * (1,25 + \ln(1,25)) < 0; per tant, reassigna b = 1,25 | | 6. Repetir els passos 4 i 5 tants cops com faci falta fins que f(a) - f(b) < 0,00000001 | El programa va repetint la comprovació anterior, canviant cada vegada els valors de a o de b: inici a=0,5, b=2 iteració 1 a=0,5, b=1,25 iteració 2 a=0,5, b=0,875 iteració 3 a=0,5, b=0,6875 iteració 4 a=0,5, b=0,59375 iteració 5 a=0,546875, b=0,59375 iteració 6 a=0,546875, b=0,5703125 iteració 7 a=0,55859375, b=0,5703125 [...] | | 7. Quan f(a) - f(b) < 0,00000001, escriure: «La solució de l'equació és c» i aturar el programa | Després d'unes 30 iteracions, el programa escriu: «La solució de l'equació és 0,56714329» | a) Expliqueu per què aquest programa és capaç de trobar una solució aproximada de l'equació x + \ln(x) = 0 entre els valors a = 0,5 i b = 2. [1,25 punts] b) Volem aplicar aquest programa per a trobar les tres arrels de f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 amb valors de a i b diferents. Trobeu justificadament entre quins valors a i b, per a cada arrel, hem d'aplicar el programa per a trobar aproximacions de cadascuna de les tres arrels de la funció. [1,25 punts]

Les imatges de l'enunciat i la solució d'aquest problema són a la web.

Veure la solució del problema