Examen de Selectivitat de Matemàtiques 2022
Juny, Sèrie 5 · Proves d'accés a la universitat (PAU) de Catalunya. 6 problemes. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Fes l'examen i mira les solucionsProblema 1
Tema: Matrius i sistemes d'equacions lineals
1. Siguin les matrius C = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} i A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}. a) Comproveu que C^3 = I_2, en què I_2 és la matriu identitat d'ordre 2, i deduïu que la matriu C és invertible i que C^{-1} = C^2. Calculeu C^{2022}. [1,5 punts] b) Resoleu l'equació…
Problema 2
Tema: Funcions III
2. Considereu la funció f(x) = x^3 i sigui a un nombre real estrictament positiu. a) Calculeu l'equació de la recta t tangent a la gràfica de la funció f en el punt d'abscissa x = a. Trobeu el punt de tall de la recta t amb l'eix de les abscisses (en funció de a). [1,25 punts] b) Feu un esbós de la gràfica de la…
Problema 3
Tema: Matrius i sistemes d'equacions lineals
3. Considereu el sistema d'equacions lineals \left. \begin{aligned} 2x - y + 3z &= 0 \\ my + (3 - m)z &= -6 \\ 2x - y + mz &= 6 \end{aligned} \right\}, en què m és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema, si és possible, quan m = 0 i quan…
Problema 4
Tema: Funcions II
4. A \mathbb{R}^2, considereu els triangles rectangles que tenen els vèrtexs en els punts O = (0, 0), A = (x, 0) i B = (0, y), amb x > 0 i y > 0, i en què la suma dels catets és 10. a) Expresseu l'àrea del triangle AOB en funció de x. Per a quin valor de x l'àrea del triangle AOB és la més gran possible? Quin valor…
Problema 5
Tema: Geometria de l'espai
5. Siguin els punts A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (-1, -1, 1) i D = (1, 0, 1). a) Comproveu que tres d'aquests punts estan alineats. Determineu quins són els tres punts i calculeu l'equació contínua i l'equació paramètrica de la recta que defineixen. [1,25 punts] b) Calculeu l'equació general o cartesiana del pla…
Problema 6
Tema: Funcions I
6. La columna de l'esquerra de la taula següent mostra l'esquema d'un programa informàtic que s'ha elaborat per a trobar solucions aproximades d'una equació f(x) = 0 en un interval (a, b), sabent que f(a) \cdot f(b) < 0. La columna de la dreta recull un exemple de funcionament del programa en què es pot veure com…
Altres exàmens de Matemàtiques del 2022
Exàmens de Matemàtiques d'altres anys
2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2021 · 2020 · 2019 · 2018 · 2017 · 2016 · 2015 · 2014