Examen de Selectivitat de Matemàtiques 2021

Juny, Sèrie 2 · Proves d'accés a la universitat (PAU) de Catalunya. 6 problemes. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.

Fes l'examen i mira les solucions

  1. Problema 1

    Tema: Funcions II

    1. Considereu la paràbola y = 4 - x^2 i un valor a > 0. a) Comproveu que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la paràbola en el punt d'abscissa x = a és y = -2ax + a^2 + 4 i calculeu els punts de tall d'aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades. [1,25 punts] b) Calculeu el valor de a > 0 perquè…

  2. Problema 2

    Tema: Matrius i sistemes d'equacions lineals

    2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real p: \begin{cases} px + y + z = 2 \\ 2x + py + p^2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases} a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p. [1,5 punts] b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas p = 2. [1 punt]

  3. Problema 3

    Tema: Geometria de l'espai

    3. Considereu el punt P = (-1, 3, 1), el pla \pi: x = y i la recta r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = z-2. a) Trobeu les coordenades del punt P' simètric a P respecte al pla \pi. [1,25 punts] b) De tots els plans que contenen la recta r, trobeu l'equació cartesiana del que és perpendicular al pla \pi. [1,25 punts]

  4. Problema 4

    Tema: Funcions III

    4. Sigui la funció f(x) = \frac{\ln(x)}{x} definida en el domini x > 0, en què \ln és el logaritme neperià. a) Trobeu les coordenades d'un punt de la corba y = f(x) en el qual la recta tangent a la corba sigui horitzontal i analitzeu si la funció té un extrem relatiu en aquest punt. [1 punt] b) Determineu si la…

  5. Problema 5

    Tema: Matrius i sistemes d'equacions lineals

    5. a) Donada la matriu A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, resoleu l'equació matricial A^2 X = A - 3I, en què I és la matriu identitat. [1,25 punts] b) Una matriu quadrada M satisfà que M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0, en què I és la matriu identitat. Justifiqueu que M és invertible i…

  6. Problema 6

    Tema: Funcions I

    6. Considereu la funció f(x) = e^{x-1} - x - 1. a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. [1,25 punts] b) Demostreu que l'equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre x = -1 i x = 3. [1,25 punts]

Altres exàmens de Matemàtiques del 2021

Exàmens de Matemàtiques d'altres anys

2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2020 · 2019 · 2018 · 2017 · 2016 · 2015 · 2014

Tots els exàmens de Matemàtiques per temes i per anys