Problema 1 de Matemàtiques de la Selectivitat 2025

Setembre 2025, Sèrie 3 · Proves d'accés a la universitat (PAU) de Catalunya.

Enunciat

Exercici 1 Una família vol comprar un terreny per a fer-s'hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes y=0 i y=3x. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt P=(1, 1), tal com es pot veure en la figura. [Gràfic: triangle ombrejat delimitat per les rectes y=0, y=3x i una recta r que passa pel punt P=(1, 1)] a) Plantegeu l'equació de la recta r que defineix el tercer costat del triangle en funció del seu pendent m, i comproveu que l'àrea del terreny ve donada per A(m) = rac{3}{2} rac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}. [1 punt] b) Calculeu el valor de m que fa que l'àrea d'aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d'aquesta àrea? [1,5 punts]

Les imatges de l'enunciat i la solució d'aquest problema són a la web.

Veure la solució del problema