Problema 2 de Matemàtiques CC.SS. de la Selectivitat 2025

Juny 2025, Sèrie 4 · Proves d'accés a la universitat (PAU) de Catalunya.

Enunciat

Exercici 2 Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l'empresa ha mirat l'historial de vendes i ha calculat que el 5 % de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n'havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del 15 %. Actualment, el 25 % de la producció és de bicicletes convencionals i el 75 %, de bicicletes elèctriques. a) Si escollim una bicicleta a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l'atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica? [1,25 punts] b) El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un 15 % de bicicletes elèctriques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. A comprovar-ho, pren una mostra de 100 bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només 8 han requerit una revisió postvenda. A partir d'aquestes dades, trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït? [1,25 punts] FÒRMULES PER A RESOLDRE L'EXERCICI: - Z \sim \text{normal} (0, 1) \rightarrow P(-1,96 \leq Z \leq 1,96) = 0,95 \text{ i } P(-2,58 \leq Z \leq 2,58) = 0,99 - Intervals de confiança amb un nivell de confiança \gamma \in (0, 1) — per a la proporció (mostres grans): \left[ \hat{p} - z_{\gamma} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\gamma} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància \sigma^2 coneguda): \left[ \bar{x} - z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància \sigma^2 desconeguda): \left[ \bar{x} - z_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} \right]

Les imatges de l'enunciat i la solució d'aquest problema són a la web.

Veure la solució del problema