Funcions I: problemes de Matemàtiques de la Selectivitat
Domini, punts de tall, límits, asímptotes, continuïtat, derivabilitat i extrems relatius
21 problemes dels exàmens oficials de les PAU de Catalunya (2010-2026) classificats en aquest tema. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Practica aquest tema amb les solucionsSetembre 2024, Sèrie 3, Problema 1
1. Considereu la funció polinòmica f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2. a) Justifiqueu que la seva gràfica talla l'eix de les abscisses en un punt de l'interval [-2, 0]. Doneu un interval de longitud 0,5 on es trobi aquest punt de tall. [1,25 punts] b) Estudieu les zones de creixement i de decreixement, i els màxims i els…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 1
1. Considereu la funció f(x) = -2 + 10 (x - 1) \ln x, definida per a x > 0. a) Comproveu que f(x) té una arrel a l'interval [1, 1,5] i busqueu un interval d'una dècima de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel. [0,75 punts] b) Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que f(x) és decreixent a…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 1
1. Calculeu els coeficients a, b, c i d de la funció f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d si sabem que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d'inflexió (1, 0) és y = -3x + 3 i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d'abscissa x = 0. [2,5 punts]
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 6
6. Sigui la funció f(x) = \frac{ax^2 + x + b}{x^2 + 1}. a) Calculeu els valors dels paràmetres a i b si sabem que la gràfica de la funció f té un extrem relatiu en x = -1 i passa pel punt P = \left(-2, \frac{13}{5}\right). [1,25 punts] b) Per al cas a = b, calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció.…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 2
2. Considereu la funció f(x) = \frac{9}{x^2 + x - 2}. a) Determineu el domini, les possibles asímptotes, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,25 punts] b) Calculeu l'equació general de la recta tangent a la funció f(x) en el punt d'abscissa x = 4. Representeu en un mateix…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 4
4. a) Considereu la funció f(x) = \begin{cases} \ln(x), & \text{si } x \in (0, e) \\ ax+b, & \text{si } x \in [e, 4) \end{cases}, on a i b són nombres reals. Trobeu el valor de a i de b per tal que la funció sigui contínua i derivable a l'interval (0, 4). [1,25 punts] b) Calculeu la funció g(x) que satisfà g'(x) =…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 6
6. La columna de l'esquerra de la taula següent mostra l'esquema d'un programa informàtic que s'ha elaborat per a trobar solucions aproximades d'una equació f(x) = 0 en un interval (a, b), sabent que f(a) \cdot f(b) < 0. La columna de la dreta recull un exemple de funcionament del programa en què es pot veure com…
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 6
6. Considereu la funció f(x) = e^{x-1} - x - 1. a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. [1,25 punts] b) Demostreu que l'equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre x = -1 i x = 3. [1,25 punts]
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 2
2. Siguin les funcions f(x) = x^3 - 9x i g(x) = 7x. a) Estudieu els intervals de creixement i decreixement de f(x). [1,25 punts] b) Calculeu l'àrea de la regió del semiplà x \geq 0 compresa entre les gràfiques de f(x) i g(x). [1,25 punts]
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 4
ax² + b 4. Considereu la funció f(x)=valors de a i b de manera que la funció f(x) tingui una asímptota obliqua de pendent 1 i un mínim en el punt de la gràfica d'abscissa x = 2. [2,5 punts] en què a i b són dos paràmetres reals. Calculeu els Espai per al corrector/a Qüestió 4 Total 9
Juny 2019, Sèrie 1, Problema 4
2x³ 5x+4 4. Considereu la funció f(x)= 1X a) Calculeu-ne el domini i estudieu-ne la continuïtat. Té cap asímptota vertical? [1 punt] b) Observeu que ƒ(-2)= -32,1 ‚ ƒ(0) = 4 i ƒ(2) = −10. Raoneu si, a partir d'aquesta informa== ció, podem deduir que l'interval (−2, 0) conté un zero de la funció. Podem deduir-ho per a…
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 3
3. Sigui la funció f(x)= a · e¯x²+x, amb a ≈0 i b ± 0. a) Calculeu els valors de a i de b que fan que la funció tingui un extrem relatiu en el punt (1, e). [1 punt] b) Per al cas a = 3 i b = 5, calculeu l'asímptota horitzontal de la funció f quan x tendeix a +∞. [1 punt]
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 3
3. Sigui la funció f(x)= 1 2 x² k en què k és un paràmetre real diferent de 0. Per als > diferents valors del paràmetre k: a) Calculeu el domini i les asímptotes de la funció. [1 punt] b) Calculeu els punts amb un màxim o un mínim relatiu. [1 punt]
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 3
3. Sigui la funció f(x) = e* − x 2. a) Demostreu que la funció fté una arrel (un zero) en l'interval [0, 2]. [1 punt] b) Comproveu que la funció és monòtona en l'interval [0, 2] i calculeu les coordenades dels punts mínim absolut i màxim absolut de la funció en aquest interval. [1 punt]
Juny 2014, Sèrie 4, Problema 1
1. Considereu la funció f(x) = x+2 Calculeu les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües de la funció f. [1 punt] Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció fen aquells punts en què la recta tangent sigui paral·lela a la recta y = -5x + 4. [1 punt] examenselectivitat.cat
Setembre 2012, Sèrie 4, Problema 2
ax² x+b 2. Sigui f(x)= a) Determineu si té alguna asímptota vertical, en funció del paràmetre b. b) Indiqueu el valor dels paràmetres a i b perquè la funció f(x) tingui la recta y=2x-4 com a asímptota obliqua a +∞. [1 punt per cada apartat] en què a=0. > versit
Juny 2011, Sèrie 1, Problema 6
6. Sigui f(x)=x².ex quan a=0. a) Calculeu el valor de a perquè aquesta funció tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x=2. b) Quan a=2, classifiqueu-ne els extrems relatius. [1 punt per cada apartat]
Setembre 2011, Sèrie 2, Problema 3
3. Donada la funció f(x) = x³ + ax²+bx+c: a) Determineu la relació que han de complir els paràmetres a, b ic perquè f(x) tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x= =-1. b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè hi hagi un punt d'inflexió de la funció f(x) en el punt d'abscissa x = 0. c) Determineu la relació…
Setembre 2010, Sèrie 2, Problema 1
1. Trobeu les asímptotes de la funció f(x) [2 punts] 3x³-5x-2 x² 4x-5 tari
Juny 2010, Sèrie 5, Problema 3
3. Determineu el valor dels paràmetres a, b ic perquè la gràfica de la funció sigui la següent: f(x) = [2 punts] a 2 x + bx + c Districte U