Funcions III: problemes de Matemàtiques de la Selectivitat
Integrals
46 problemes dels exàmens oficials de les PAU de Catalunya (2010-2026) classificats en aquest tema. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Practica aquest tema amb les solucionsExamen de model 2025, Problema 1
Pregunta 1 1. En Joan troba entre els papers del seu avi un esbós com el de la figura adjunta, en el qual es descriu un terreny de regadiu que ha deixat en herència al seu pare. [Gràfic d'una funció cúbica f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5 que talla l'eix y en 5, amb una regió ombrejada delimitada per la corba i els punts…
Juny 2025, Sèrie 1, Problema 4
Exercici 4 (Opció A) Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s'hi plantegen. OPCIÓ A La vela major d'un veler té forma semiparabòlica i està delimitada per les gràfiques de f(x) = -x^2 + 25, y = 0 i x = 0, tal com s'indica a la figura següent: La vela té dues parts separades…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 5
Exercici 4, Opció A Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s'hi plantegen. OPCIÓ A Un vidrier està reparant un dels vitralls de la Sagrada Família la forma del qual és la de la part ombrejada de la figura adjunta. S'ha adonat que Gaudí el va dissenyar de manera que un dels…
Juny 2024, Sèrie 1, Problema 3
3. En Joan troba entre els papers del seu avi un esbós com el de la figura adjunta, on es descriu un terreny de regadiu que ha deixat en herència al seu pare. [Gràfic d'una funció cúbica f(x) amb una regió ombrejada delimitada per la corba i els punts P, Q i R]. La corba de la gràfica és y = f(x), amb f(x) = -x^3 +…
Setembre 2024, Sèrie 3, Problema 3
3. La classe de l'Èlia ha dissenyat el logotip següent per a pintar-lo a la paret de l'institut: [Gràfic amb dues funcions, una amb una zona puntejada i l'altra amb una zona ratllada, definides en un sistema d'eixos cartesià]. La corba que passa pel punt A és y=f(x), amb f(x)=x^3-4x^2+4x, i la que passa pels punts B,…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 3
3. Considereu les paràboles y = f_a(x), amb f_a(x) = ax^2 + 2x + 5 - a, on a és un paràmetre real. a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual la recta tangent a y = f_a(x) en el punt d'abscissa x = 1 passa pel punt (2, 13). [1 punt] b) Calculeu els punts de tall de les paràboles y = f_1(x) i y = f_3(x). [0,5…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 3
3. Sigui f'(x) = \begin{cases} x-1, & \text{si } x \le 2 \\ \frac{1}{x-1}, & \text{si } x > 2 \end{cases} la funció derivada d'una funció derivable f(x) que passa pel punt A = (0, 3). a) Calculeu la funció f(x). [1,5 punts] b) Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció f'(x) en el punt d'abscissa x = 3. [1…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 4
4. Sigui la funció f(x) definida per f(x) = -3x + e^{2x^3-1}. a) Justifiqueu que f(x) = 2 té una solució en l'interval (-1, 0). [1,25 punts] b) Sigui la funció h(x) = -3x^2 + e^{2x^3-1}. Calculeu l'àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions f(x) i h(x). [1,25 punts]
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 1
1. Considereu les funcions f(x) = -x^2 + x + 6 i g(x) = -9x + 3x^2. a) Calculeu l'àrea de la regió delimitada per les dues funcions. [1,25 punts] b) Trobeu l'equació de la recta tangent a la funció f(x) en el punt (-2, 0). Representeu aquesta recta tangent i les funcions f(x) i g(x) en uns mateixos eixos de…
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 1
1. Sigui f'(x) = 3x^2 - 12x la derivada d'una funció f(x). a) Si sabem que f(x) talla l'eix de les abscisses en x = 1, calculeu l'expressió de la funció f(x). [0,75 punts] b) Calculeu l'abscissa del punt d'inflexió de f(x) i estudieu la concavitat de la funció. [0,75 punts] c) Sabem que l'àrea del recinte limitat per…
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 4
4. a) Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt (0, 5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d'abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g''(x) = 2x + 1. [1 punt] b) Comproveu que la funció f(x) = -x^3 + 6x^2 - 16 té una arrel a x = 2 i que és estrictament…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 4
4. a) Considereu la funció f(x) = \begin{cases} \ln(x), & \text{si } x \in (0, e) \\ ax+b, & \text{si } x \in [e, 4) \end{cases}, on a i b són nombres reals. Trobeu el valor de a i de b per tal que la funció sigui contínua i derivable a l'interval (0, 4). [1,25 punts] b) Calculeu la funció g(x) que satisfà g'(x) =…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 2
2. Considereu la funció f(x) = x^3 i sigui a un nombre real estrictament positiu. a) Calculeu l'equació de la recta t tangent a la gràfica de la funció f en el punt d'abscissa x = a. Trobeu el punt de tall de la recta t amb l'eix de les abscisses (en funció de a). [1,25 punts] b) Feu un esbós de la gràfica de la…
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 2
2. a) Donada la funció f(x)=\frac{4}{x}, calculeu l'equació de la recta tangent a y=f(x) en el punt d'abscissa x=1. Trobeu també l'equació de la recta normal a y=f(x) en aquest mateix punt. [1,25 punts] b) Feu un esbós de les gràfiques de la corba y=f(x) i de la recta 4x+y=8, i calculeu l'àrea delimitada per aquestes…
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 4
4. Sigui la funció f(x) = \frac{\ln(x)}{x} definida en el domini x > 0, en què \ln és el logaritme neperià. a) Trobeu les coordenades d'un punt de la corba y = f(x) en el qual la recta tangent a la corba sigui horitzontal i analitzeu si la funció té un extrem relatiu en aquest punt. [1 punt] b) Determineu si la…
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 2
2. Siguin les funcions f(x) = x^3 - 9x i g(x) = 7x. a) Estudieu els intervals de creixement i decreixement de f(x). [1,25 punts] b) Calculeu l'àrea de la regió del semiplà x \geq 0 compresa entre les gràfiques de f(x) i g(x). [1,25 punts]
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 6
6. Considereu la funció f(x) = x³. a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a y=f(x) és parallela a la recta 3x-y=4. Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes. [1,25 punts] b) Calculeu l'àrea de la…
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 10
4. Sigui la funció f(x)==-In(x), en què ln indica el logaritme neperià, definida per a x > 0. a) Calculeu les coordenades del punt de la corba y = f(x) en què la recta tangent a la corba en aquest punt és horitzontal. Estudieu si aquest punt és un extrem relatiu i classifiqueu-lo. [1,25 punts] b) Calculeu l'àrea del…
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 12
6. Una empresa de ceràmica vol posar a la venda una rajola quadrada de 20 cm de costat pintada a dos colors, de manera que la superfície de cada color sigui la mateixa i que si es posen les rajoles l'una al costat de l'altra es vegi un dibuix continu (figura 1). Figura 1 Figura 2 Per a fer-ho, l'empresa utilitza en…
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 1
1. Siguin les funcions f(x) = x³ i g(x) = ax², en què a és un nombre real positiu. a) Trobeu, en funció del paràmetre a, els punts de tall entre les dues corbes y=f(x) i y = g(x) i feu un esbós de la regió limitada per les dues gràfiques. [1,25 punts] b) Calculeu el valor de a perquè l'àrea compresa entre y=f(x) i…
Juny 2019, Sèrie 1, Problema 6
6. Considereu les funcions f(x) = x² i g(x)= =, i la recta x = e. X a) Feu un esbós de la regió delimitada per les seves gràfiques i l'eix de les abscisses. Calculeu les coordenades del punt de tall de y = f(x) amb y = g(x). [1 punt] b) Calculeu l'àrea de la regió descrita en l'apartat anterior. [1 punt]
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 4
4. Considereu la funció f(x), que depèn dels paràmetres reals n i m i és definida per sixs0 f(x)= +n si 0< x≤2 4 3x X 2 +m six>2 2 a) Calculeu els valors de n i m perquè la funció sigui contínua a tot el conjunt dels nombres reals. [1 punt] b) Per al cas n = ¤ −4 i m = −6, calculeu l'àrea de la regió limitada per la…
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 1
1. Considereu les rectes y = x i y = 2x, i la paràbola y = x². a) Calculeu els punts d'intersecció entre les gràfiques de les diferents funcions i feu un esbós de la regió delimitada per les gràfiques. [1 punt] b) Calculeu l'àrea de la regió de l'apartat anterior. [1 punt]
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 6
6. Considereu la funció f(x) = In(x) X a) Calculeu el domini de la funció f, els punts de tall de la gràfica de f amb els eixos de coordenades, i els intervals de creixement i decreixement de f. [1 punt] b) Calculeu l'àrea de la regió del pla determinada per la gràfica de la funció f, les rectes x = lix=e, i l'eix de…
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 5
5. Sigui la funció f(x)=√x+x-2. a) Comproveu que la funció f(x) compleix l'enunciat del teorema de Bolzano a l'interval [0, 2] i que, per tant, l’equació f(x) = 0 té alguna solució a l'interval (0, 2). Comproveu que x= 1 és una solució de l'equació f(x) = 0 i raoneu, tenint en compte el signe de f'(x), que la solució…
Setembre 2018, Sèrie 3, Problema 6
6. Siguin les funcions f(x) = x² − 1 i g(x) = 3 − x². a) Feu un esbós de les gràfiques de les paràboles y = f(x) i y = g(x) en un mateix sistema d'eixos cartesians i trobeu els punts de tall amb l'eix de les abscisses, els vèrtexs i els punts de tall entre les dues gràfiques. [1 punt] b) Calculeu l'àrea de la regió…
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 4
4. Sabem que una funció f(x) està definida per a tots els nombres reals i que és derivable dues vegades. Sabem també que té un punt d'inflexió en el punt d'abscissa x = 2, que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en aquest punt és y = -124x+249 i que f(-3)=-4. a) Calculeu f(2), f'(2) if(2). [1…
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 6
6. Sigui la funció f(x)= a) Calculeu una primitiva de la funció f(x). [1 punt] b) Calculeu l'àrea limitada per la funció f(x) i l'eix de les abscisses entre les abscisses x = = 0 π i x== 4 [1 punt] sin x 2 cos² x ●
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 3
3. Responeu a les qüestions següents: a) Comproveu que la recta tangent a la corba y = x² en el punt d'abscissa x = 2 és la recta y = 4x 4 i calculeu els punts d'intersecció d'aquesta recta amb els eixos de coordenades. [1 punt] b) Calculeu l'àrea limitada per la corba de l'apartat anterior, la recta tangent en x = 2…
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 4
4. Sigui la funció f(x) = sin(x). a) Calculeu l'equació de les rectes tangents a la funció f en els punts d'abscissa x = 0 i x = π, respectivament. Trobeu les coordenades del punt en què es tallen les dues rectes. [1 punt] b) Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció fi les rectes tangents de…
Juny 2016, Sèrie 3, Problema 6
6. Siguin les paràboles f(x) = x² + k² i g(x) = −x² + 9k². a) Calculeu les abscisses, en funció de k, dels punts d'intersecció entre les dues paràboles. [1 punt] b) Calculeu el valor del paràmetre k perquè l'àrea compresa entre les paràboles sigui de 576 unitats quadrades. [1 punt]
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 3
3. Responeu a les qüestions següents: a) Determineu l'equació de la recta tangent a la corba y = x³ en el punt d'abscissa x = 2. [1 punt] b) Calculeu l'àrea de la regió plana finita limitada per la corba y = x³ i la recta y = 3x 2. [1 punt] examenselectivitat.cat
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 4
4. Sigui f la funció f(x) = x sin(x). Calculeu la primitiva de la funció f que passa pel punt (,0) (unitats en radians). [2 punts] examenselectivitat.cat
Juny 2014, Sèrie 3, Problema 4
4. Calculeu l'àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions y=x², y = 4x² iy = 9. [2 punts] examenselectivitat.cat
Juny 2014, Sèrie 4, Problema 6
6. Responeu a les qüestions següents: a) La funció f(x) = (b − x)ex, amb a i b constants, té la representació gràfica següent i sabem que passa pels punts A = (0,2) i B = (2,0), i que en el punt A la recta tangent a la gràfica és horitzontal. Calculeu els valors de a i b. [1 punt] b) Calculeu f x. In x dx. [1 punt]…
Juny 2013, Sèrie 4, Problema 2
2. La corba y = x² i la recta y = k, amb k > 0, determinen una regió plana. a) Calculeu el valor de l'àrea d'aquesta regió en funció del paràmetre k. b) Trobeu el valor de k perquè l'àrea limitada sigui √√√6u². [1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b] Unive
Setembre 2013, Sèrie 5, Problema 2
2. De la funció polinòmica P(x) = x³ + ax² + bx + 2 sabem que té un extrem relatiu en el punt d'abscissa x = -3; 5 la integral definida en l'interval [0, 1] val 4 Calculeu el valor dels paràmetres a i b. [2 punts] Univer
Juny 2012, Sèrie 1, Problema 2
2. La gràfica de la funció f(x)=x√9-x² és la següent: n (a, 0) a) Trobeu el punt de tall, (a, 0), de la funció amb la part positiva de l'eix OX. b) Calculeu l'àrea del recinte limitat per la gràfica de f(x) i l'eix OX en el primer quadrant. [0,5 punts per l'apartat a; 1,5 punts per l'apartat b] istricte Univer
Juny 2011, Sèrie 1, Problema 3
x²-1 3. Definim les funcions f(x)= a(1 − x²) i g(x)= a a) Comproveu que l'àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és: en què a>0. > 4(1 + a²) 3a b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè aquesta àrea sigui mínima. [1 punt per cada apartat] tricte Ur
Setembre 2011, Sèrie 2, Problema 6
6. Sigui ƒ(a)= ª(a²+x²)dx per a>0. 0 1 3a³ a) Comproveu que f(a)=b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè la funció f(a) tingui un mínim relatiu. [1 punt per cada apartat] + a.
Juny 2011, Sèrie 4, Problema 1
1. Calculeu l'àrea del recinte limitat per les corbes d'equació f(x)=x²-x+2 i g(x)=5-3x. [2 punts] itari
Juny 2010, Sèrie 1, Problema 3
3. Un segment de longitud fixada m recolza sobre els eixos de coordenades. Calculeu el valor de l'angle a que forma el segment amb l'eix OX perquè el triangle rectangle determinat pel segment amb els eixos i del qual m és la hipotenusa tingui àrea màxima. Comproveu que es tracta realment d'un màxim. OY [2 punts] 2 m…
Juny 2010, Sèrie 1, Problema 5
5. La gràfica de la funció f(x) = x · sin(x) és la següent: A 10 a) Trobeu-ne una primitiva. b) Aplicant el resultat de l'apartat anterior, calculeu l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x) i l'eix d'abscisses des de x = 0 fins a x = л. [1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b]
Setembre 2010, Sèrie 2, Problema 5
5. Sigui f(x) = Trobeu l'àrea del recinte limitat per la gràfica d'aquesta funció, 8x² 2x+1 l'eix OX i les rectes x = [2 punts] = 0ix = 2.
Juny 2010, Sèrie 5, Problema 6
6. En la figura es mostra la corba y = x(4x) i una recta r que passa per l'origen i talla la corba en un punt P d'abscissa k, amb 0 < k < 4. a) Trobeu l'àrea ombrejada, delimitada per la corba i la recta, en funció de k. b) Trobeu per a quin valor de k l'àrea de la regió ombrejada és la meitat de l'àrea del recinte…