Funcions II: problemes de Matemàtiques de la Selectivitat
Derivades, recta tangent, creixement i decreixement, màxims i mínims, problemes d'optimització
71 problemes dels exàmens oficials de les PAU de Catalunya (2010-2026) classificats en aquest tema. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Practica aquest tema amb les solucionsExamen de model 2025, Problema 4
Pregunta 3 (Apartat c) c) Estudieu els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement, de la funció f(x) = 2^{\frac{\ln x}{x}}, definida per x > 0. [1 punt]
Examen de model 2025, Problema 6
Pregunta 4 (Opció B) 4. OPCIÓ B. Volem construir un petit cobert de fusta de 6 \text{ m}^3 de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d'una casa, per guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és la de la casa a la qual està…
Juny 2025, Sèrie 1, Problema 1
Exercici 1 Considereu la funció f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 1}. a) Determineu els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües. [1 punt] b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba y = f(x) en els punts x =…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 1
Exercici 1 Una família vol comprar un terreny per a fer-s'hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes y=0 i y=3x. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt P=(1, 1), tal com…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 4
Exercici 3 (Funcions) Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d'aquest producte, en milers d'euros, segueixen una funció de la forma f(x) = ax^3 + bx^2 + cx, on x són els anys transcorreguts des que la…
Juny 2025, Sèrie 4, Problema 1
Exercici 1 Considereu la funció f(x)=+\sqrt{1+x^3}. a) Indiqueu el domini d'aquesta funció i els talls de la corba y=f(x) amb els eixos de coordenades. [0,5 punts] b) Resoleu l'equació f'(x)=0 i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció f(x), així com els seus màxims i mínims locals. [1 punt] c)…
Juny 2025, Sèrie 4, Problema 4
Exercici 4 - Opció A Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s'hi plantegen. OPCIÓ A El dissenyador d'una casa de perfums ha decidit que l'ampolla del proper perfum que l'empresa traurà al mercat serà de vidre i tindrà la forma d'un cilindre amb una mitja esfera a la part…
Juny 2024, Sèrie 1, Problema 1
1. Considereu la funció f(x) = 2\frac{\ln x}{x}, definida per a x > 0. a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement. [1 punt] b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica. [1 punt] c) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de y = f(x) en el punt…
Juny 2024, Sèrie 1, Problema 5
5. Volem construir un petit cobert de fusta de 6 \text{ m}^3 de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d'una casa, per a guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és la de la casa a la qual està adossat). A més, volem que el…
Setembre 2024, Sèrie 3, Problema 5
5. Per a cada punt (x, y) de la corba y = e^{-2x}, amb x > 0 i y > 0, considereu el rectangle amb vèrtexs als punts (0, 0), (x, 0), (0, y) i (x, y). a) Comproveu que, d'entre tots aquests rectangles, el que té x = \frac{1}{2} és el d'àrea màxima. Quin és el valor d'aquesta àrea? [1,5 punts] b) Calculeu l'equació de…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 3
3. Considereu les paràboles y = f_a(x), amb f_a(x) = ax^2 + 2x + 5 - a, on a és un paràmetre real. a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual la recta tangent a y = f_a(x) en el punt d'abscissa x = 1 passa pel punt (2, 13). [1 punt] b) Calculeu els punts de tall de les paràboles y = f_1(x) i y = f_3(x). [0,5…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 5
5. En Carles vol construir un decorat per a l'obra de teatre de final de curs en forma d'un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent: [Figura que mostra un decorat compost per un rectangle i dos semicercles, amb les dimensions x i y indicades] a) Determineu el perímetre i l'àrea del decorat…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 5
5. La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de 8 \text{ m}^2 per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estalviar-se així un dels quatre costats. [Figura: esquema d'un jardí amb un tancat rectangular…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 2
2. Sigui la funció f(x) = \frac{1}{x}. a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d'abscissa x = 2. [0,75 punts] b) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d'abscissa x = k, en què k és un nombre real positiu. [0,75 punts] c) Comproveu que,…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 6
6. Volem construir una peça metàl·lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan 10 mm, tal com podeu observar en la figura següent: [Figura: trapezi isòsceles amb base superior 3x, base inferior x i costats…
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 1
1. Considereu les funcions f(x) = -x^2 + x + 6 i g(x) = -9x + 3x^2. a) Calculeu l'àrea de la regió delimitada per les dues funcions. [1,25 punts] b) Trobeu l'equació de la recta tangent a la funció f(x) en el punt (-2, 0). Representeu aquesta recta tangent i les funcions f(x) i g(x) en uns mateixos eixos de…
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 4
4. En una carretera principal hi trobem el poble A. A 12 km del poble A, hi ha un encreuament O amb una carretera secundària que talla perpendicularment la carretera principal. A 9 km de l'encreuament, a la carretera secundària, hi trobem el poble B. Es vol construir una torre de comunicacions T en un punt de la…
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 6
6. Al pati d'una escola es vol crear una àrea de joc de 30 \text{ m}^2 per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases (D) sigui tan curt com sigui possible. [Figura: trapezi…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 2
2. Considereu la funció f(x) = \frac{9}{x^2 + x - 2}. a) Determineu el domini, les possibles asímptotes, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,25 punts] b) Calculeu l'equació general de la recta tangent a la funció f(x) en el punt d'abscissa x = 4. Representeu en un mateix…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 6
6. La imatge següent mostra dues parets perpendiculars d'una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret és al pla y=0 i l'altra és al pla x=0. [Representació gràfica de dos plans perpendiculars en un sistema d'eixos cartesià amb els punts A, B i C]. En el punt A = (2, 0, 2) hi volem…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 4
4. A \mathbb{R}^2, considereu els triangles rectangles que tenen els vèrtexs en els punts O = (0, 0), A = (x, 0) i B = (0, y), amb x > 0 i y > 0, i en què la suma dels catets és 10. a) Expresseu l'àrea del triangle AOB en funció de x. Per a quin valor de x l'àrea del triangle AOB és la més gran possible? Quin valor…
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 4
4. a) En la figura es mostra la gràfica de la funció f(x). Representeu de manera esquemàtica la gràfica de la funció derivada de f(x). Expliqueu el raonament que heu seguit. [1,25 punts] [Gràfica de la funció y=f(x) en un sistema d'eixos cartesià] b) Calculeu els valors de a i b perquè la funció g(x) = ax^3 + bx^2 +…
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 6
6. Considereu la funció f(x) = \frac{x^3}{x-2}. a) Estudieu si té punts crítics i, en cas que en tingui, justifiqueu de quin tipus són. Determineu també quins són els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,5 punts] b) Comproveu que l'equació f(x) = 0 té una única solució en l'interval (-2, 1). [1 punt]
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 1
1. Considereu la paràbola y = 4 - x^2 i un valor a > 0. a) Comproveu que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la paràbola en el punt d'abscissa x = a és y = -2ax + a^2 + 4 i calculeu els punts de tall d'aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades. [1,25 punts] b) Calculeu el valor de a > 0 perquè…
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 4
4. La resistència al trencament R d'una biga de secció rectangular de base x i altura y és directament proporcional al producte xy^2; per tant, R = kxy^2, en què k és una constant positiva. Disposem d'un tronc de fusta en forma de cilindre de diàmetre d com el de la figura. [Imatge: tronc de fusta cilíndric amb una…
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 6
6. Resoleu les dues qüestions següents: a) Sigui f(x) = 2x^3 + mx^2 + nx + p una funció que té dos extrems relatius en x = -3 i en x = 1 i que passa pel punt (3, 4). Calculeu els valors de m, n i p. [1,25 punts] b) Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció f(x) = \frac{1 - x}{1 + x} en x = -3. [1,25 punts]
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 1
1. Tracem la recta tangent a la funció f(x)=+1 per un punt P = (a, f(a)) del primer quadrant. Aquesta recta juntament amb els eixos de coordenades formen un triangle. a) Comproveu que l'àrea d'aquest triangle, en funció de a, ve donada per la funció g(a)= [1,25 punts] (a²+3)² 4a -1 314 Qüestió 1 0 b) En quin punt P…
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 4
ax² + b 4. Considereu la funció f(x)=valors de a i b de manera que la funció f(x) tingui una asímptota obliqua de pendent 1 i un mínim en el punt de la gràfica d'abscissa x = 2. [2,5 punts] en què a i b són dos paràmetres reals. Calculeu els Espai per al corrector/a Qüestió 4 Total 9
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 6
6. Considereu la funció f(x) = x³. a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a y=f(x) és parallela a la recta 3x-y=4. Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes. [1,25 punts] b) Calculeu l'àrea de la…
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 8
2. S'han trobat unes pintures rupestres en una cova situada en una zona molt pedregosa. Hi ha un camí que voreja parcialment la cova format per l'arc de corba y = 4 x² d'extrems (0, 4) i (2, 0). La cova està situada en el punt de coordenades (0, 2), tal com es mostra en la figura, i es vol habilitar un accés…
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 10
4. Sigui la funció f(x)==-In(x), en què ln indica el logaritme neperià, definida per a x > 0. a) Calculeu les coordenades del punt de la corba y = f(x) en què la recta tangent a la corba en aquest punt és horitzontal. Estudieu si aquest punt és un extrem relatiu i classifiqueu-lo. [1,25 punts] b) Calculeu l'àrea del…
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 12
6. Una empresa de ceràmica vol posar a la venda una rajola quadrada de 20 cm de costat pintada a dos colors, de manera que la superfície de cada color sigui la mateixa i que si es posen les rajoles l'una al costat de l'altra es vegi un dibuix continu (figura 1). Figura 1 Figura 2 Per a fer-ho, l'empresa utilitza en…
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 3
3. Sigui f(x) una funció derivable la gràfica de la qual passa pel punt (0, 1). La gràfica de la seva derivada, f'(x), és la que es mostra en la figura. 13 a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt de la gràfica d'abscissa x=0. [1,25 punts] b) Trobeu les abscisses dels punts…
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 5
5. Una empresa està treballant en el disseny d'unes càpsules de cafè. L'empresa ha construït la secció transversal de les càpsules inscrivint-la en una semicircumferència de radi 1, traçant a continuació una corda CD parallela al diàmetre AB i incorporant el punt E en el punt mitjà de l'arc CD. D'aquesta manera queda…
Juny 2019, Sèrie 1, Problema 1
1. Les pàgines d'un llibre han de tenir cada una 600 cm² de superfície, amb uns marges al voltant del text de 2 cm a la part inferior, 3 cm a la part superior i 2 cm a cada costat. Calculeu les dimensions de la pàgina que permeten la superfície impresa més gran possible. [2 punts]
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 1
1. Volem construir un marc rectangular de fusta que delimiti una àrea de 2 m². Sabem que el preu de la fusta és de 7,5 €/m per als costats horitzontals i de 12,5 €/m per als costats verticals. Determineu les dimensions que ha de tenir el rectangle perquè el cost total del marc sigui el mínim possible. Quin és aquest…
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 6
6. Sabem que una funció f(x) és contínua i derivable a tots els nombres reals, que té com a segona derivada f(x) = 6x i que la recta tangent en el punt d'abscissa x 1 és horitzontal. a) Determineu l'abscissa dels punts d'inflexió de la funció fi els intervals de concavitat i convexitat. Justifiqueu que la funció ƒ té…
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 4
1 1+x² 4. Considereu la funció f(x)= a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica en aquells punts en què la recta tangent és horitzontal. [1 punt] b) Calculeu les coordenades del punt de la gràfica de la funció f(x) en què el pendent de la recta tangent és màxim. [1 punt]
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 3
3. Sigui la funció f(x) = x³ x². a) Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica i que és paral·lela a la recta d'equació x + 3y = 0. [1 punt] b) Calculeu, si n'hi ha, els punts de la gràfica en què la funció presenta un màxim o mínim relatiu o un punt d'inflexió. [1 punt] examenselectivitat.cat
Setembre 2018, Sèrie 3, Problema 1
1. Considereu la funció polinòmica f(x) = x³ − ax² + bx + c. a) Calculeu els valors dels paràmetres a, b i c, sabent que la funció té un extrem relatiu en el punt d'abscissa x = 1 i que la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt d'abscissa x = 0 és la recta y = x + 3. [1 punt] b) Per als valors a = 2, b =…
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 4
4. Sabem que una funció f(x) està definida per a tots els nombres reals i que és derivable dues vegades. Sabem també que té un punt d'inflexió en el punt d'abscissa x = 2, que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en aquest punt és y = -124x+249 i que f(-3)=-4. a) Calculeu f(2), f'(2) if(2). [1…
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 3
3. Sigui la funció f(x)= 1 2 x² k en què k és un paràmetre real diferent de 0. Per als > diferents valors del paràmetre k: a) Calculeu el domini i les asímptotes de la funció. [1 punt] b) Calculeu els punts amb un màxim o un mínim relatiu. [1 punt]
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 6
6. Considereu un con de 120 cm³ de volum que té una altura h, un radi de la base x i una aresta a, com el de la figura següent: 1 TL h [1 punt] b) Calculeu l'altura del con que té l'aresta de longitud mínima. [1 punt] a) Comproveu que a² = 360 a +h². NOTA: Recordeu que el volum del con és un terç del volum del…
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 6
6. El croquis de sota representa la paret d'unes golfes amb el sostre inclinat, en la qual es vol construir un armari rectangular com el de la zona ombrejada. 1m A X B 6 m 3 m C a) Expresseu l'àrea del rectangle en funció de la longitud x del segment AB. [1 punt] b) Determineu les dimensions del rectangle si volem…
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 3
3. Voleu fer un envàs de gelat amb forma de prisma regular de base quadrada i capacitat de 80 cm³. Per a la tapa i la superfície lateral feu servir un determinat material que costa 1 €/cm², però per a la base heu d'utilitzar un material un 50 % més car. a) Si denoteu per x la mesura en cm del costat de la base,…
Juny 2016, Sèrie 3, Problema 3
3. Sigui la funció f(x) = x e*-¹. a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció ƒ en el punt d'abscissa x = 1. [1 punt] b) Determineu en quins intervals la funció fés creixent i en quins intervals és decreixent. [1 punt]
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 3
3. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu els màxims relatius, els mínims relatius i els punts d'inflexió de la funció f(x) = 2x³9x² + 12x − 4. [1 punt] b) Expliqueu raonadament que si f(x) és una funció amb la derivada primera contínua en l'interval [a, b] i satisfà que ƒ'(a) >0 i ƒ'(b) ≤ 0, aleshores hi ha,…
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 6
6. Sabem que una funció f(x) té per derivada f'(x) = (x + 1)e* i que f(0) = 2. a) Trobeu l'equació de la recta tangent a y = f(x) en el punt de la corba d'abscissa x = 0. [1 punt] b) Calculeu l'expressió de f(x). [1 punt]
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 3
3. Responeu a les qüestions següents: a) Determineu l'equació de la recta tangent a la corba y = x³ en el punt d'abscissa x = 2. [1 punt] b) Calculeu l'àrea de la regió plana finita limitada per la corba y = x³ i la recta y = 3x 2. [1 punt] examenselectivitat.cat
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 6
6. La portalada d'una catedral està formada, en la part superior, per un arc de mitja circumferència que recolza sobre dues columnes, com illustra la figura adjunta, en què x és el diàmetre de la circumferència, és a dir, la distància entre columnes, i y és l'alçària de cada columna. X/2 a) Comproveu que la funció…
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 2
2. Sigui la funció f(x) = x³ 4x² + 4x. a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció ƒ en el punt d'abscissa x = 1. [1 punt] b) Calculeu les abscisses dels punts de la gràfica en què hi ha un mínim relatiu, un màxim relatiu o una inflexió. [1 punt] examenselectivitat.cat
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 3
3. Sigui la funció f(x) = e* − x 2. a) Demostreu que la funció fté una arrel (un zero) en l'interval [0, 2]. [1 punt] b) Comproveu que la funció és monòtona en l'interval [0, 2] i calculeu les coordenades dels punts mínim absolut i màxim absolut de la funció en aquest interval. [1 punt]
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 5
5. Siguin xi y les mesures dels costats d'un rectangle inscrit en una circumferència de diàmetre 2. a) Comproveu que la superfície del rectangle, en funció de x, és donada per l'expressió S(x)=√√4x²-x4. [1 punt] b) Calculeu els valors de les mesures x i y per als quals la superfície del rectangle és màxima i calculeu…
Juny 2014, Sèrie 3, Problema 3
3. Un nedador és al mar en un punt N, situat a 3 km d'una platja recta, i just al davant d'un punt S, situat a la platja arran de l'aigua; i vol anar a un punt A situat també arran de l'aigua i a 6 km del punt S, de manera que el triangle NSA és rectangle en el vèrtex S. El nedador neda a una velocitat constant de 3…
Juny 2014, Sèrie 4, Problema 1
1. Considereu la funció f(x) = x+2 Calculeu les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües de la funció f. [1 punt] Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció fen aquells punts en què la recta tangent sigui paral·lela a la recta y = -5x + 4. [1 punt] examenselectivitat.cat
Setembre 2014, Sèrie 5, Problema 2
eax + b 2. Siguin les funcions f(x)= 4 a) Determineu el domini i el recorregut de la funció g. [1 punt] i g(x)=+√√3x +4. b) Calculeu per a quins valors de a i de b les gràfiques de les dues funcions són tangents (és a dir, tenen la mateixa recta tangent) en el punt d'abscissa x = 0. [1 punt] te Univ
Setembre 2014, Sèrie 5, Problema 4
4. Sabem que una funció f té per derivada la funció f'(x) = (3x 2)² (x − 2). a) Calculeu els valors de x en què la funció f té un màxim relatiu, un mínim relatiu o un punt d'inflexió, i indiqueu en cada cas de què es tracta. [1 punt] b) Determineu la funció f sabent que s'anulla en el punt d'abscissa x = 2. [1 punt]
Juny 2013, Sèrie 4, Problema 6
6. La funció f(x) és derivable i passa per l'origen de coordenades. La gràfica de la funció derivada és la que veieu aquí dibuixada, essent f'(x) creixent als intervals (-∞, −3] i [2, + ∞o). a) Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt d'abscissa x = 0. b) Indiqueu les abscisses…
Juny 2012, Sèrie 1, Problema 4
4. Un rectangle és inscrit en el triangle que té els costats en les rectes d'equacions y=x, x+y=8, y=0, i té un costat sobre la recta y = 0. Trobeu-ne els vèrtexs perquè la superfície sigui màxima. [2 punts] A y=x x+y=8
Juny 2012, Sèrie 3, Problema 2
2. Donades la recta y = 3x+b i la paràbola y=x², a) Calculeu l'abscissa del punt on la recta tangent a la paràbola és parallela a la recta donada. b) Calculeu el valor del paràmetre b perquè la recta sigui tangent a la paràbola. [1 punt per apartat] nivers
Juny 2012, Sèrie 3, Problema 5
5. Un triangle equilàter de vèrtexs A, B i C té els costats de 8 cm. Situem un punt P sobre una de les altures del triangle, a una distància x de la base corresponent. a) Calculeu l'altura del triangle de vèrtexs A, B i C. b) Indiqueu la distància del punt P a cadascun dels vèrtexs (en funció de x). c) Determineu el…
Setembre 2012, Sèrie 4, Problema 6
6. Donades la recta y = ax + 1 i la paràbola y = 3x-x², a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè siguin tangents. b) Calculeu els punts de tangència. [1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b]
Juny 2011, Sèrie 4, Problema 3
3. La gràfica corresponent a la derivada d'una funció f(x) és la següent: -3 a) Expliqueu raonadament quins valors de x corresponen a màxims o a mínims relatius de f(x). b) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x). [1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b] stricte Univ
Juny 2011, Sèrie 4, Problema 6
6. Dins d'un triangle rectangle, de catets 3 i 4 cm, hi ha un rectangle. Dos costats del rectangle estan situats en els catets del triangle i un dels vèrtexs del rectangle és a la hipotenusa del triangle. a) Feu un esbós de la situació descrita. b) Six és la longitud del costat del rectangle que està situat en el…
Setembre 2010, Sèrie 2, Problema 3
3. Considereu tots els prismes rectes de base quadrada amb un volum V fixat. Anomeneu x el costat de la base del prisma i y la seva altura. a) Trobeu l'expressió del volum i de l'àrea total del prisma en funció de les variables x i y. b) Comproveu que el que té àrea total mínima és en realitat un cub. [0,5 punts per…
Juny 2010, Sèrie 4, Problema 3
3. Sigui P(x) = ax² + bx + c un polinomi qualsevol de segon grau. a) Trobeu la relació existent entre els paràmetres a, b ic sabent que es compleix que P(1) = 0 i P(2) = 0. b) Quan es compleix la condició anterior, indiqueu quins valors pot tenir P'(3/2). [1 punt per cada apartat] tricte
Juny 2010, Sèrie 4, Problema 5
5. En la figura següent es representen dues funcions. L'una és la derivada de l'altra. Decidiu si la funció f(x) és la derivada de la funció g(x) o és a l'inrevés, estudiant què passa en els punts x = a, x=bix = c. [2 punts] g(x) f(x) C