Matrius i sistemes d'equacions lineals: problemes de Matemàtiques de la Selectivitat
92 problemes dels exàmens oficials de les PAU de Catalunya (2010-2026) classificats en aquest tema. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Practica aquest tema amb les solucionsExamen de model 2025, Problema 2
Pregunta 2 2. Considereu el sistema d'equacions següent: \left. \begin{matrix} 4x+2y-z=4 \\ x-y+kz=3 \\ 3x+3y=1 \end{matrix} \right\}, on k és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k, i resoleu-lo per a k=0. [1 punt] b) Resoleu el sistema per a k=-1. [0,75 punts] c) Per a…
Juny 2025, Sèrie 1, Problema 2
Exercici 2 Considereu el sistema d'equacions lineals següent: \left. \begin{array}{l} y - z = p + 3 \\ p^2 x - z = 5 \\ x - y = 3 \end{array} \right\} a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema per al cas p = -1. [0,5 punts] c) Per al cas p = -1, hi ha alguna…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 2
Exercici 2 Considereu el sistema d'equacions lineals següent: \left. \begin{array}{r} x + 3y + z = 5 \\ mx + 2z = 0 \\ my - z = m \end{array} \right\} a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema per a m = 1. [0,5 punts] c) Resoleu el sistema quan aquest tingui…
Juny 2025, Sèrie 4, Problema 2
Exercici 2 Considereu el sistema d'equacions \left. \begin{aligned} x+3y+az &= 1 \\ -2x-6y+2z &= 2a \\ ax+3y+z &= 3 \end{aligned} \right\}, on a és un paràmetre real, i siguin \pi_1 el pla determinat per la primera equació, \pi_2 el determinat per la segona, i \pi_3 el determinat per la tercera. a) Discutiu el…
Juny 2025, Sèrie 4, Problema 5
Exercici 4 - Opció B Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s'hi plantegen. OPCIÓ B Considereu les matrius A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix}, on a és un paràmetre real, i B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. a) Trobeu els valors de a que fan que…
Juny 2024, Sèrie 1, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions següent: \left. \begin{aligned} 4x+2y-z &= 4 \\ x-y+kz &= 3 \\ 3x+3y &= 1 \end{aligned} \right\}, on k és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k, i resoleu-lo per a k=0. [1 punt] b) Resoleu el sistema per a k=-1. [0,75 punts] c) Per a…
Setembre 2024, Sèrie 3, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions següent, on m és un paràmetre real: \left. \begin{matrix} x - 3y + mz = -2 \\ x + my + 2z = 3 \\ x + y + 2z = m \end{matrix} \right\} a) Discutiu el sistema segons el valor del paràmetre m. [1,25 punts] b) Trobeu la solució del sistema per a m = 0. [0,5 punts] c) Per a m = 2,…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 2
2. Considereu les matrius P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, Q = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} i R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}. a) Decidiu si la matriu P és invertible i, en cas de ser-ho, calculeu la seva…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 2
2. Considereu les dues matrius següents: A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} a) Calculeu les matrius A \cdot B i B \cdot A. [1,5 punts] b) Siguin C i D dues matrius quadrades del mateix ordre que…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 4
4. Sigui el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real \lambda: \begin{cases} x + 2\lambda y + (2 + \lambda)z = 0 \\ (2 + \lambda)x + y + 2\lambda z = 3 \\ 2\lambda x + (2 + \lambda)y + z = -3 \end{cases} a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre \lambda. [1,25 punts] b) Per…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 1
1. Siguin A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} i la matriu identitat d'ordre dos I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Comproveu que (A - 2I)^2 = 3I. [0,5 punts] b) Utilitzant la igualtat de l'apartat anterior, trobeu la matriu inversa de…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 3
3. Sigui el sistema d'equacions lineals \begin{cases} 2x + y = 1 + z \\ my + z = 2 - x \\ mz + 3 = 3x + y \end{cases}, en què m és un nombre real. a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre m. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas m = 1. [1,25 punts]
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions lineals \left. \begin{aligned} x - y + kz &= -1 \\ x + ky + z &= 3 \\ 2x + (k-1)y + 2z &= 2 \end{aligned} \right\}, en què k és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema en funció del valor de k. [1,5 punts] b) Resoleu el sistema per a k=0 i per a k=1. [1 punt]
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 5
5. Considereu la família S de matrius de la forma \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}, en què a, b \in \mathbb{R}. a) Calculeu \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}. [1,25 punts] b) Trobeu totes les matrius de la família S, és a dir, de la forma…
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: \begin{cases} ax + 2y + 3z = 2 \\ 2x + ay + z = a \\ x + y + 4z = 1 \end{cases} a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1,5 punts] b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas a = 2. [1 punt]
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 5
5. Sigui la matriu X = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}, que depèn dels paràmetres a, b i c. a) Calculeu les matrius X tals que X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. [1,5 punts] b) Determineu els valors de a, b i c perquè la matriu inversa de X sigui…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 3
3. Considereu la matriu A = \begin{pmatrix} 1 & a & 3 \\ 2a & 5 & 3a \\ 7 & 4a & 9 \end{pmatrix}, que depèn del paràmetre a. a) Calculeu el rang de la matriu A per als diferents valors del paràmetre a. [1,25 punts] b) Si X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, resoleu l'equació matricial següent:…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 5
5. Sigui la matriu A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{pmatrix}, en què a és un paràmetre real. a) Calculeu els valors del paràmetre a per als quals la matriu A és invertible. [1,25 punts] b) Per al cas a = 3, resoleu l'equació A \cdot X = B - 3I, en què B = \begin{pmatrix} 4 & 0 &…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 1
1. Siguin les matrius C = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} i A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}. a) Comproveu que C^3 = I_2, en què I_2 és la matriu identitat d'ordre 2, i deduïu que la matriu C és invertible i que C^{-1} = C^2. Calculeu C^{2022}. [1,5 punts] b) Resoleu l'equació…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 3
3. Considereu el sistema d'equacions lineals \left. \begin{aligned} 2x - y + 3z &= 0 \\ my + (3 - m)z &= -6 \\ 2x - y + mz &= 6 \end{aligned} \right\}, en què m és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema, si és possible, quan m = 0 i quan…
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 1
1. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k: \begin{cases} x + ky + z = 3 + k \\ kx + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases} a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. [1,25 punts] b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas k = 1, i feu-ne una…
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 5
5. Sigui la matriu A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{pmatrix}, en què a és un paràmetre real. a) Trobeu per a quins valors de a la matriu A és invertible. [1 punt] b) Comproveu que, per al cas a=3, la matriu A és invertible i resoleu l'equació matricial A X = B - 3I, en què B és…
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real p: \begin{cases} px + y + z = 2 \\ 2x + py + p^2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases} a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p. [1,5 punts] b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas p = 2. [1 punt]
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 5
5. a) Donada la matriu A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, resoleu l'equació matricial A^2 X = A - 3I, en què I és la matriu identitat. [1,25 punts] b) Una matriu quadrada M satisfà que M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0, en què I és la matriu identitat. Justifiqueu que M és invertible i…
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 1
1. Considereu les matrius A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} i C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}. a) Raoneu que la matriu B és invertible i després calculeu B^{-1}. [1,25 punts] b) Calculeu la matriu X que satisfà la igualtat A + B \cdot…
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 5
5. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: \begin{cases} x + 2y + az = 8 \\ 2x + y - az = 1 \\ 3x - 3az = 1 \end{cases} a) Comproveu que, per a qualsevol valor del paràmetre a, el sistema d'equacions lineals no té solució. [1,25 punts] b) Interpreteu geomètricament el…
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k: 5x + y + 4z=19 kx+2y+8z=28 5x + y-kz=23+k a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. [1,25 punts] b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas k = 0. [1,25 punts] Espai per al corrector/a Qüestió 2 a b…
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 5
5. Sigui la matriu A 1 -3 -4 a) Trobeu la matriu X que satisfà l'equació AX = I 3X, en què I és la matriu identitat d'ordre 2. [1,25 punts] b) Comproveu que la matriu X és invertible i calculeu-ne la matriu inversa. [1,25 punts] Espai per al corrector/a Qüestió 5 a b Total 11
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 7
102 1. Sigui A 1 -1 1 0 1 en què a és un paràmetre real. a) Determineu el rang de la matriu A en funció del paràmetre a. [1,25 punts] b) Comproveu que det(A² + A) = 0. [1,25 punts] Espai per al corrector/a Qüestió 1 a b Total 3
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 9
3. Considereu el sistema d'equacions lineals següent: ax+y=a x+ay+z=5 (x+2y+z=5 a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema per al cas a = 2. [1,25 punts] Espai per al corrector/a Qüestió 3 a b Total 7
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 4
a 4. Sigui la matriu A= 4 -3 0 1 en què a és un paràmetre real. a-7 1 -1 -1 a) Estudieu el rang de la matriu A per als diferents valors del paràmetre a. [1,25 punts] b) Comproveu que per a a = 4 la matriu A és invertible i que es verifica que A-¹ = A². [1,25 punts] Espai per al corrector/a Qüestió 4 a b Total 9
Juny 2019, Sèrie 1, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k: x + 3y + 2z = -1 x+k²y+3z=2k 3x+7y+7z-k-3 a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al cas k = -1. [1 punt]
Juny 2019, Sèrie 1, Problema 5
a 0 a) Calculeu per a quins valors del paràmetre a se satisfà la igualtat M² M 21 = 0, en què I és la matriu identitat i 0 és la matriu nulla, totes dues d'ordre 2. [1 punt] b) Fent servir la igualtat de l'apartat anterior, trobeu una expressió general per a calcular la matriu inversa de la matriu M i, a continuació,…
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 3
3. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: ax + 7y + 5z =0 x+ay+z=3 y + z = -2 a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1 punt] Resoleu el sistema per al cas a = 2. [1 punt] b)
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 2
2. Considereu la matriu A = 1 0 a 1 1 4 a 3a 1 1 en què a és un paràmetre real. > a) Trobeu els valors del paràmetre a per als quals la matriu és invertible. [1 punt] b) Discutiu la posició relativa dels plans ₁: x + (a − 1)2 = 0, ₂ x + ay + z = 1 i 4x + 3ay + z = 3 en funció dels valors del paràmetre a. π3: [1 punt]
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 3
1 1 3. Siguin les matrius A-26¹) i B-(22) = 3 a) Calculeu A BiB.A. . [1 punt] b) Justifiqueu que si el producte de dues matrius quadrades no nulles té per resultat la matriu nulla, aleshores el determinant de totes dues matrius ha de ser zero. [1 punt]
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 1
1. Siguin les matrius M = 1 0 t 2 -1 i N= 2 -1 t 2 0 -1 1 a) Calculeu M. Ni comproveu que la matriu resultant no és invertible. [1 punt] b) Trobeu els valors de t per als quals la matriu N. M és invertible. [1 punt]
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 6
Uns estudiants de batxillerat han programat un full de càlcul com el de la figura següent que dona la solució d'un sistema d'equacions compatible determinat d'una manera automàtica: Liberation Sans E8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C fx Σ D x y ܚ ܝܠ ܝܕ 1 1 -1 2 2 10 V E N -2 2 NCSA 2 F -3 G H X=1 I sistema: COMPATIBLE…
Setembre 2018, Sèrie 3, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: x+y+z=3 x+y=z=1 2x + ay = 2a a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al cas a = 1. [1 punt]
Setembre 2018, Sèrie 3, Problema 4
4. Sigui la matriu A = 1 α 2 b) 0 0 -1 1 -1 en què a és un paràmetre real. > a) Hi ha algun valor de a E R tal que A no tingui inversa per a aquest valor? [1 punt] Calculeu la matriu inversa de A² per a α = 0. [1 punt]
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 1
6x+3y+2z=5 1. Considereu el sistema d'equacions lineals 3x+4y+6z=3, per a m E R. x+3y+2z=m a) Expliqueu raonadament que per a qualsevol valor del paràmetre m el sistema té una única solució. [1 punt] b) Resoleu el sistema i trobeu l'expressió general del punt solució. [1 punt]
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 6
6. Considereu la matriu A = a) Si I = 10 0 01 0 001 -1 01 0 1 -1 0 1 1 és la matriu identitat d'ordre 3, calculeu per a quins valors de k la matriu A+ kl té inversa. Trobeu, si existeix, la matriu inversa de A 21. [1 punt] b) Calculeu la matriu X que satisfà l'equació X A+ A¹ = 2 ·X, en què A¹ és la matriu…
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 1
1. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre λ: λx+y=z=0 y+z=10 2λx-y+52z = 30 a) Estudieu per a quins valors del paràmetre λ el sistema és incompatible. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al cas λ = 1. [1 punt] ocatòria 2017
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 4
4. Sabem que el sistema d'equacions lineals següent té una única solució: x + ay = 1 x + az=1 |y+z=a a) Comproveu que a ≈ 0. [1 punt] b) Trobeu la solució del sistema en funció del paràmetre a. [1 punt]
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 5
5. Considereu les matrius quadrades d'ordre 2 de la forma M = y² +1. -1 X amb xiy nombres reals. a) Comproveu que la matriu M és sempre invertible, independentment dels valors de x i de y. [1 punt] b) Per a x-1 iy=-1, calculeu M-¹. [1 punt] examenselectivitat.cat
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 2
2. Siguin les matrius A = 1 1 1 0-2 1 i B= 1 -1 1 a) Comproveu que satisfan la igualtat A² d'ordre 3. 3 -1 -4 0 4 -1 7 3 4 A B = I, en què I és la matriu identitat . 2 [1 punt] b) Fent servir la igualtat anterior, trobeu la matriu inversa de A: A-¹. [1 punt] Convoc
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 3
3. Considereu el sistema d'equacions lineals següent: x+y+z=3 x+y=z=1 |2x + ay = 2a a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real a. [1 punt] Resoleu el sistema per al cas a = = 2. [1 punt] b)
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 2
2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent: x-y+z=0 2x+kz=1 [x+(k+1)y+z=k² − 4 en què k és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors de k. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al cas k = -2. [1 punt] Convocat
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 4
4. Considereu la matriu A = 0 0 -1 -1 0 0 0 0 a) Calculeu les potències A², A³ i Aº. [1 punt] b) Calculeu la inversa de la matriu A5. [1 punt] examenselectivitat.cat
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 5
a 1 1 1 5. Sigui 1 a 1 a la matriu ampliada d'un sistema d'equacions lineals. 1 1 a a² a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre a, i interpreteu el resultat geomètricament. [1 punt] b) Per a a = 1 trobeu la forma paramètrica del pla solució i doneu un punt i dos vectors directors d'aquest pla. [1 punt]…
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 2
2. Tres nombres, x, y i z, compleixen dues condicions: que el primer és la suma dels altres dos, i que el segon és la suma de la meitat del primer i el doble del tercer. a) Comproveu que el càlcul dels tres nombres, x, y i z, té una infinitat de solucions. [1 punt] b) Trobeu una expressió general de les solucions. [1…
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 5
5. Responeu a les qüestions següents: a) Trobeu l'única matriu de la forma A = 2 a 4 1 2 que satisfà que A² = A, i comproveu que A i A I no són invertibles. [1 punt] b) Justifiqueu raonadament que si A és una matriu quadrada d'ordre n diferent de la matriu nulla, 0, i de la matriu identitat, I, i satisfà la igualtat…
Juny 2016, Sèrie 3, Problema 1
Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no s'autoritzarà l'ús de calculadores o altres aparells que portin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació. 1. Considereu…
Juny 2016, Sèrie 3, Problema 4
4. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu totes les matrius de la forma A= 10 m -2 1 0 0 1 que satisfan la igualtat = A² + A = 21, en què I és la matriu identitat, I [1 punt] b) Justifiqueu que si A és una matriu quadrada que compleix la igualtat A² + A = 21, aleshores A és invertible, i calculeu l'expressió…
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 1
Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no s'autoritzarà l'ús de calculadores o altres aparells que portin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació. 1 1 2 1.…
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 4
4. Sigui A una matriu quadrada d'ordre n que satisfà la igualtat A · (A − I) = I, en què I és la matriu identitat. a) Justifiqueu que la matriu A és invertible i que A-¹ = A I. [1 punt] compleixi la igualtat 1 a A. (A I) = I. Calculeu A-¹ i comproveu que es correspon amb la matriu calculada a partir del resultat de…
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 5
5. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu la matriu de la forma A = (a) que satisfà A² – A = 1, en que I és la matriu identitat, 1 = ( I [1 punt] b) Calculeu A¹ i comproveu que el resultat es correspon amb el que obteniu de deduir la matriu A-¹ a partir de la igualtat A² A = 1. [1 punt] examenselectivitat.cat
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 1
x 2y z 1. Considereu el sistema d'equacions -mx + 3y + z = 60+ = x+y = 4 paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. [1 punt] b) Resoleu el sistema per a m = 1. [1 punt] en què m és un examenselectivitat.cat
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 5
5. Sigui A una matriu quadrada que compleix que A³ = 1, en què I és la matriu = 69). a) Demostreu que la matriu A té inversa i que A-1 = A². [1 punt] identitat, I = b) En el cas de A = ( qual A³ = 1. =(-1₂ [1 punt] 2), calculeu si hi ha cap valor del paràmetre a per al examenselectivitat.cat
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 1
1. 1 0-2 1 -a a) Determineu per a quins valors de a existeix A-¹. [1 punt] b) Calculeu A-¹ per a a = 0. [1 punt] Sigui la matriu A 0 1 1 a
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 6
6. Trobeu totes les matrius de la forma A = -a dir, que A² [2 punts] -(19) = a b 0 1 ) que siguin inverses d'elles mateixes, és
Juny 2014, Sèrie 3, Problema 1
1. Considereu la matriu M = 1 a a+1 1 a-1 1 -per a a € R. a) Calculeu el rang de la matriu M en funció dels valors del paràmetre a. [1 punt] b) Discutiu i resoleu el sistema d'equacions lineals a² (a + 1)² (a-1)², M.y = ·()-() segons els valors del paràmetre a. [1 punt] examenselectivitat.cat
Juny 2014, Sèrie 3, Problema 6
6. Responeu a les qüestions següents: a) Demostreu que si A és una matriu quadrada que satisfà la igualtat A² = I, on I és la matriu identitat, aleshores A és invertible i A¹ satisfà (A¯¹)² = I. [1 punt] b) Calculeu l'expressió general de les matrius de la forma A = (a b) que satisfan la igualtat A² = I. [1 punt] amb…
Juny 2014, Sèrie 4, Problema 2
2. Responeu a les qüestions següents: a) Discutiu el sistema d'equacions lineals (k-1)y + (k² 1)z (4k+1)x-y-7= en funció dels valors de k. [1 punt] b) Resoleu el sistema per a k = 1. [1 punt] 0 1 x+y+z = 0 = = examenselectivitat.cat
Juny 2014, Sèrie 4, Problema 5
5. Responeu a les qüestions següents: a) Si A i B són dues matrius quadrades d'ordre n, demostreu que (A + B)² = A² + 2AB + B² ⇒ AB = BA [1 punt] b) Si M₁ i M₂ són dues matrius de la forma -2), amb a, b ER, comproveu a que el producte M₁ M₂ té també la mateixa forma i que M₁ M₂ = M₂. M₁. [1 punt] examenselectivitat.cat
Setembre 2014, Sèrie 5, Problema 3
mx y = m 3. Considereu el sistema d'equacions lineals 3x + (m−4)y=m+2° a) Discutiu el sistema d'equacions per als diferents valors del paràmetre m. [1 punt] b) Resoleu el sistema en aquells casos en què el sistema sigui compatible. [1 punt] per a mER. District
Setembre 2014, Sèrie 5, Problema 6
6. Considereu l'equació matricial X-A= B, en què A 1 a -1 -1 1 -3 a-1 i B= = 0 1 -3 -2 -4 5 -2 5 a) Per a quins valors del paràmetre a l'equació matricial té una solució única? [1 punt] b) Trobeu la matriu X que satisfà l'equació matricial quan a = 3. [1 punt]
Juny 2013, Sèrie 4, Problema 1
1. Sabem que el vector (2, 1, −1) és una solució del sistema ax+by+cz = a + c bx-y+bz-a-b-c cx-by + 2z = b Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. [2 punts] ersitari
Setembre 2013, Sèrie 5, Problema 1
1. Sigui V={(-1, 1, 1), (−2, −1, 0), (1, 2, a)} un conjunt de vectors de R³. a) Trobeu el valor o els valors de a perquè V sigui linealment dependent. b) Quan a = 4, expresseu el vector v = (3, 9, 14) com a combinació lineal dels vectors de V. [1 punt per cada apartat] rsitari
Setembre 2013, Sèrie 5, Problema 4
4. Siguin les matrius A 2 a 1 1 b4 3 C 5 B 5b8 C 3 1 4 a 3 > 2 4 7 −1 5 5 -b -a -2 on a, b i c són paràmetres reals. Calculeu el valor d'aquests paràmetres perquè cap de les tres matrius tingui inversa. [2 punts]
Juny 2012, Sèrie 1, Problema 3
3. Sigui A una matriu quadrada d'ordre n de manera que A² = O, en què O és la matriu nulla (la formada completament per zeros). a) Comproveu que (A + I₂)² = 2A + In. b) Comproveu que les matrius B=I₂-AiC=A+I,, són l'una inversa de l'altra. [1 punt per cada apartat]
Juny 2012, Sèrie 1, Problema 5
5. Contesteu les preguntes següents: a) Expliqueu raonadament si una matriu d'ordre 3 i una matriu d'ordre 2 poden tenir el mateix determinant. b) Considereu les matrius següents: A = 1 1 P 1 1-p 2 iB= 1 2 P 1 -1 4 01 p 0p 4 Calculeu, si és possible, el valor del paràmetre p perquè det A = det B. [1 punt per cada…
Juny 2012, Sèrie 3, Problema 1
1. Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans π₁:x=y+mz=1, ¹:x=y+z=miл: my+2z=3 tenen com a intersecció una recta. [2 punts] sitari
Juny 2012, Sèrie 3, Problema 4
4. Donades les matrius A = 2 (3, 3) ₁B i 1 1 -2 1 3 a) Comproveu que es compleix la igualtat (A + B) (A-B) = A²-B². b) És certa aquesta igualtat per a qualsevol parell de matrius quadrades A i B del mateix ordre? Responeu raonadament utilitzant les propietats generals de les operacions entre matrius, sense utilitzar…
Setembre 2012, Sèrie 4, Problema 1
1. Determineu el rang de la matriu A = [2 punts] 1 1 k 1 k 1 k 1 1 en funció del paràmetre k. ari
Setembre 2012, Sèrie 4, Problema 3
3. Considereu el sistema d'equacions lineals següent: x+y=3z=2 2x + ay 5z = 2a +3 2x-3y + (a-2)z = 9 a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el sistema és compatible indeterminat. b) Quantes solucions té aquest sistema quan a=-3? [1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per…
Juny 2011, Sèrie 1, Problema 2
2. Si tenim la matriu invertible A i l'equació matricial X•A+B=C: a) Aïlleu la matriu X. -2 1 -(1 73). B-(2 J)ic-(34) 1 b) Trobeu la matriu X quan A = [1 punt per cada apartat] niver
Juny 2011, Sèrie 1, Problema 4
4. Considereu el sistema d'equacions següent: x+2y-az = -3 2x + (a-5) y + z = 4a +2 4x + (a-1)y-3z=4 a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible determinat. b) Hi ha algun valor de a per al qual x= 1, y=-3, z=-1 sigui l'única solució del sistema? [1 punt per cada apartat]
Setembre 2011, Sèrie 2, Problema 1
1. Donada la matriu M = k+1 0 0 1 1 k-2 1 k-2 -k a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible. b) Per a k=0, calculeu M-¹. [1 punt per cada apartat] ‘sitari
Setembre 2011, Sèrie 2, Problema 4
(-1/2 -√3/20 4. Sigui la matriu A= √3/2-1/2 0 0 0 1 a) Calculeu A² i A³. b) Deduïu el valor de A¹01. NOTA: Treballeu amb radicals; no utilitzeu la representació decimal dels elements de la matriu. [1 punt per cada apartat]
Juny 2011, Sèrie 4, Problema 4
4. Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d'equacions següent: [2 punts] 2x+y-z=k-4 (k −6)y+3z=0 (k+1)x+2y = 3
Juny 2010, Sèrie 1, Problema 2
2. Donat el sistema d'equacions lineals x+2y-z=-17 2x+y+z=4}: x-y+(p-3)z = 5 a) Estudieu-ne el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) en funció del paràmetre p. b) Comproveu que si p #5 la solució del sistema no depèn del valor d'aquest paràmetre. [1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per…
Juny 2010, Sèrie 1, Problema 6
1(-223) Trobeu els valors de les variables x i y perquè es compleixi que = y A² = A. 6. Sigui A [2 punts]
Setembre 2010, Sèrie 2, Problema 4
4. Considereu la matriu A 7 3 a) Comproveu que compleix la igualtat A² – 5A = I₂, on I₂ és la matriu identitat d'ordre 2. b) Utilitzeu aquesta igualtat per a calcular la matriu inversa de A. (29) -2 [0,5 punts per l'apartat a; 0,75 punts per l'apartat b; 0,75 per l'apartat c] c) Resoleu l'equació matricial A· X =…
Juny 2010, Sèrie 4, Problema 2
2. Considereu la igualtat matricial (A + B)² = A² + 2AB + B². -1 (12) i B-(2, 2) compleixen o no la = 1 a) Comproveu si les matrius A = igualtat anterior. b) En general, donades dues matrius qualssevol A i B quadrades del mateix ordre, expliqueu raonadament si hi ha alguna condició que hagin de complir perquè la…
Juny 2010, Sèrie 4, Problema 4
Hem escalonat la matriu ampliada d'un sistema d'equacions lineals, A. X = b, i hem obtingut: 1 -2 (Ab)~0 a +2 0 0 3 2 1 -1 a-13 a) Discutiu aquest sistema en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan a = 2. [1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b]
Juny 2010, Sèrie 4, Problema 6
6. Siguin ū₁ = (-1, 3, 2), ū₂ = (2, −1, 4) i ū₂ = (a + 1, a − 1, 4a + 2) tres vectors de l'es1 2 3 pai vectorial R³. 3 a) Trobeu el valor del paràmetre a per al qual el vector u, és combinació lineal dels vectors u, i u 2° b) Comproveu que per a a = 0 el conjunt {ū₁, ū₂, ūž} és linealment independent. [1 punt per…
Juny 2010, Sèrie 5, Problema 1
1. Considereu un sistema qualsevol de dues equacions amb tres incògnites. Responeu raonadament a les qüestions següents: a) És possible que el sistema considerat sigui compatible determinat? b) Pot ser incompatible? [1 punt per cada apartat] sitari
Juny 2010, Sèrie 5, Problema 4
4. Siguin A, B i C matrius quadrades d'ordre n. a) Expliqueu raonadament si és possible que det A # 0, det B ‡ 0 i det (A · B) = 0. Si és possible, poseu-ne un exemple. . b) Si sabem que det A # 0 i que A B = A· C, expliqueu raonadament si podem assegurar que B = C. [1 punt per cada apartat]