Geometria de l'espai: problemes de Matemàtiques de la Selectivitat
76 problemes dels exàmens oficials de les PAU de Catalunya (2010-2026) classificats en aquest tema. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Practica aquest tema amb les solucionsExamen de model 2025, Problema 5
Pregunta 4 (Opció A) 4. OPCIÓ A Considereu els punts A = (1, 2, 3) i B = (-3, -2, 3). a) Calculeu l'equació del pla \pi que és perpendicular a la recta AB i que passa pel punt mitjà entre A i B. Justifiqueu que aquest pla és format, precisament, pels punts P = (x, y, z), que estan situats a la mateixa distància de A…
Juny 2025, Sèrie 1, Problema 5
Exercici 4 (Opció B) Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s'hi plantegen. OPCIÓ B Considereu el pla \pi d'equació x + y = 0. a) Calculeu l'equació del pla \pi' que és perpendicular a \pi i conté els punts P = (1, -1, 2) i Q = (3, -3, 6). [1 punt] b) Calculeu l'equació…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 6
Exercici 4, Opció B Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s'hi plantegen. OPCIÓ B Considereu el pla \pi: 2x - y + z = 5 i el punt P = (0, 1, 3). a) Comproveu que la distància del punt P al pla \pi és \frac{\sqrt{6}}{2}. [0,5 punts] b) Trobeu l'equació general d'un pla \pi_1…
Juny 2024, Sèrie 1, Problema 6
6. Considereu els punts A = (1, 2, 3) i B = (-3, -2, 3). a) Calculeu l'equació del pla \pi que és perpendicular a la recta AB i que passa pel punt mitjà entre A i B. Justifiqueu que aquest pla està format, precisament, pels punts P = (x, y, z) que estan a igual distància de A que de B, és a dir, d(P, A) = d(P, B). [1…
Setembre 2024, Sèrie 3, Problema 6
6. Considereu el punt P = (1, 3, 0) i el pla \pi d'equació x + 2y - 2z = -7. a) Sigui r la recta que és perpendicular a \pi i passa per P. Calculeu el punt d'intersecció de \pi amb r. [1 punt] b) Calculeu la distància d del punt P al pla \pi. [0,5 punts] c) Calculeu l'equació d'un altre pla \pi' que sigui paral·lel a…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 6
6. Considereu les rectes r: \frac{x-5}{4} = \frac{y-4}{3} = \frac{z-3}{-1} i s: \begin{cases} x = 4 + 2k \\ y = 3 + k \\ z = -1 \end{cases}. a) Quina és la seva posició relativa? Calculeu l'equació implícita d'un pla \pi que sigui paral·lel a les dues rectes i que passi per l'origen de coordenades. [1,25 punts] b)…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 6
6. Siguin els plans \pi_1 i \pi_2, determinats respectivament per les equacions \pi_1: x+y=3 i \pi_2: x-z=-2. a) Trobeu l'equació general (Ax+By+Cz+D=0) del pla \pi_3, que és perpendicular a \pi_1 i \pi_2, i que passa pel punt P=(4, 1, 2). [0,75 punts] b) Sigui r la recta d'intersecció de \pi_1 i \pi_2. Calculeu…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 5
5. Siguin r_1 i r_2 les rectes definides per r_1: x - 1 = y = -z i per r_2: x = y = z, respectivament. a) Calculeu l'equació paramètrica de la recta que talla perpendicularment les rectes r_1 i r_2. [1,75 punts] b) Calculeu la distància entre r_1 i r_2. [0,75 punts]
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 3
3. Considereu les rectes a l'espai r: x = -y = z + m i s: \begin{cases} x + y = 1 \\ x - z = 0 \end{cases}, en què m és un paràmetre real. a) Estudieu la posició relativa per als diferents valors del paràmetre m. [1,25 punts] b) Calculeu m perquè la distància entre les rectes r i s sigui de \sqrt{2} unitats. [1,25…
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 3
3. Sigui la recta r definida per l'expressió següent: r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 + 3\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} a) Determineu la posició relativa de la recta r respecte al pla \pi: x - 2y + 4z - 4 = 0. Si és paral·lela, calculeu la distància de r a \pi, i si és secant, calculeu el punt de…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 1
1. El pal central que sosté la lona de la carpa d'un circ se situa perpendicularment sobre el pla d'un terra l'equació del qual és \pi: x - z = 6. Sabem que la cúpula de la carpa (el punt més alt per on passa el pal) és al punt de coordenades P = (30, 1, 0). a) Calculeu l'equació paramètrica de la recta que conté el…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 5
5. Siguin els punts A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (-1, -1, 1) i D = (1, 0, 1). a) Comproveu que tres d'aquests punts estan alineats. Determineu quins són els tres punts i calculeu l'equació contínua i l'equació paramètrica de la recta que defineixen. [1,25 punts] b) Calculeu l'equació general o cartesiana del pla…
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 3
3. En \mathbb{R}^3 es donen els punts A = (3, 1, 1), B = (0, 0, 1), C = (4, 1, 2) i D = (1, 1, t), en què t és un valor real. a) Per a quin valor de t els quatre punts són coplanaris? [1 punt] b) Trobeu el valor de t per tal que el tetraedre (irregular) que formen els quatre punts tingui un volum de 5u^3. [1,5 punts]…
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 3
3. Considereu el punt P = (-1, 3, 1), el pla \pi: x = y i la recta r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = z-2. a) Trobeu les coordenades del punt P' simètric a P respecte al pla \pi. [1,25 punts] b) De tots els plans que contenen la recta r, trobeu l'equació cartesiana del que és perpendicular al pla \pi. [1,25 punts]
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 3
3. Considereu els punts de l'espai tridimensional A = (1, a, 1), B = (a, 1, 2), C = (1, 1, 1) i D = (0, 0, 0), en què a és un paràmetre real. a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual els punts són diferents i coplanaris (és a dir, que hi ha un pla que els conté). [1,25 punts] b) Per al valor a = 2, calculeu…
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 3
3. a) Calculeu l'equació general del pla л que passa pel punt (8, 8, 8) i té com a vectors directors u = (1, 2, −3) i v= (–1, 0, 3). [1,25 punts] b) Determineu el valor del paràmetre a perquè el punt (1, -5, a) pertanyi al pla i calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular…
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 11
5. Considereu la recta r d'equació x-1_y-3_ Z 2 -2 1 = i la rectas que passa pel punt P = (2, -5, 1) i que té per vector director (-1, 0, -1). a) Estudieu la posició relativa de les rectes ri s. [1,25 punts] b) Calculeu l'equació general del pla que és parallel a la recta r i conté la recta s. [1,25 punts] Espai per…
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 2
2. Un avió es desplaça des d'un punt A = (0, 3, 1) cap a una plataforma plana d'equació π: x 2y + z = 1 seguint una recta r parallela al vector v = (1, -1,0). a) Calculeu les coordenades del punt de contacte B de l'avió amb el pla i la distància recorreguda. [1,25 punts] b) Calculeu l'equació general del pla…
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 6
x-3 6. Siguin les rectes r is, expressades per =y=z-li(u, -u, μ), respectivament. 2 a) Determineu la posició relativa de les rectes. [1,25 punts] b) Calculeu la distància entre la recta r i la recta s. [1,25 punts]
Juny 2019, Sèrie 1, Problema 3
3. Un dron es troba en el punt P = (2, −3, 1) i volem dirigir-lo en línia recta fins al punt més proper del pla d'equació π:3x + 4z +15=0. a) Calculeu l'equació de la recta, en forma paramètrica, que ha de seguir el dron. Quina distància ha de recórrer fins a arribar al pla? [1 punt] b) Trobeu les coordenades del…
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 2
x = 2 y=z=1 2. Siguin la recta r:< i el pla л: x-z = 3. a) Calculeu l'equació paramètrica de la recta que és perpendicular al pla é i que el talla en el mateix punt en què el talla la recta r. [1 punt] b) Trobeu els punts de r que estan a una distància de √8 unitats del pla é. [1 punt] NOTA: Podeu calcular la…
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 5
5. Considereu els plans ₁: 2x + ay + z = 5, n₂: x + ay + z = 1 i µ²: 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0, en què a és un paràmetre real. a) Estudieu per a quins valors del paràmetre a els tres plans es tallen en un punt. [1 punt] b) Comproveu que per al cas a = 1 la interpretació geomètrica del sistema format per les…
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 2
2. Considereu la matriu A = 1 0 a 1 1 4 a 3a 1 1 en què a és un paràmetre real. > a) Trobeu els valors del paràmetre a per als quals la matriu és invertible. [1 punt] b) Discutiu la posició relativa dels plans ₁: x + (a − 1)2 = 0, ₂ x + ay + z = 1 i 4x + 3ay + z = 3 en funció dels valors del paràmetre a. π3: [1 punt]
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 5
5. Siguin P, Q i R els punts d'intersecció del pla d'equació x + 4y + 2z = 4 amb els tres eixos de coordenades OX, OY i OZ, respectivament. a) Calculeu els punts P, Q i R, i el perímetre del triangle de vèrtexs P, Q i R. [1 punt] b) Calculeu l'àrea del triangle de vèrtexs P, Q i R. [1 punt] NOTA: Per a calcular…
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 2
2. Siguir la recta que passa pels punts A = (0, 1, 1) i B = (1, 1,-1). a) Trobeu l'equació paramètrica de la recta r. [1 punt] Calculeu tots els punts de la rectar que estan a la mateixa distància dels plans T₁: x+y=-2 in₂: x-z = 1 [1 punt] Nota: Podeu calcular la distància d'un punt de coordenades (xo, Yo, Zo) al…
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 4
4. Considereu els punts P=(3, -2, 1), Q = (5, 0, 3), R = (1, 2, 3) i la recta r: x+y+1=0 2y+3z-5=0° a) Determineu l'equació general (és a dir, que té la forma Ax+By+ Cz= D) del pla que passa per PiQ i és parallel a la recta r. [1 punt] b) Donats el pla x + 2y + m · z = 7 i el pla que passa per P, Q i R, trobeu m…
Setembre 2018, Sèrie 3, Problema 3
3. Considereu el pla que té com a vectors directors u= (-1, 3, 2) i v = (2, 1, 0) i que passa pel punt A = (1, 0, 3). a) Calculeu l'equació de la recta que és perpendicular al pla i passa pel punt A. [1 punt] b) Calculeu la distància del punt P = (1, 5, 0) al pla. [1 punt] NOTA: Podeu calcular la distància d'un punt…
Setembre 2018, Sèrie 3, Problema 5
5. Considereu els punts de l'espai tridimensional A = (1, 1,0), B = (3, 5, 0) i C = (1, 0, 0) i la recta r: x= =y-1: a) Trobeu el punt d'intersecció de la recta r amb el pla que passa pels punts A, B i C. [1 punt] b) Trobeu els punts P de la recta r per als quals el tetraedre de vèrtexs P, A, B i C té un volum de…
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 2
2. Siguin el pla d'equació л: x + y z=0 i el punt P = (2, 3,2). a) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla è. [1 punt] b) Calculeu l'equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax+By+ Cz=D) dels dos plans parallels a è que estan a una distància √3 del punt P. [1 punt] NOTA: Podeu calcular la distància…
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 5
5. Siguin les rectes r¡: x −1= Y−2 _ z−5 ir₂: (x, y, z) = (2 − 3λ, −1 + λ, 2). -1 a) Trobeu l'equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax+By+ Cz= D) del pla que conté la recta r, i és parallel a la recta r₂. [1 punt] b) Digueu quina condició s'ha de complir perquè existeixi un pla que contingui la recta r₁ i…
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 2
2. Considereu els plans : 5x − y −7z = 1 i л₂: 2x + 3y + z = 5. a) Determineu l'equació general (és a dir, la que té la forma Ax+By+ Cz= D) del pla que passa per l'origen de coordenades i és perpendicular als plans è i è. [1 punt] b) Calculeu l'angle que formen els plans ₁ i ₂. [1 punt] Convo
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 1
1. Considereu Q = (1, 2, 3). a) Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla í. el pla í: x+y+z=1 i la recta r que passa pels punts P= (0,0,6) i [1 punt] b) Calculeu la distància entre la recta r i el pla л. [1 punt] NOTA: Podeu calcular la distància d'un punt de coordenades (x, y, z) al pla d'equació Ax + By…
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 5
fx-z=2 2y+z=4 5. A R³, siguin la recta r: i el punt P = (0, 1, −1). a) Calculeu l'equació general (és a dir, la que té la forma Ax+By+ Cz = D) del pla л perpendicular a la recta ri que passa pel punt P. [1 punt] b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla x + y + z = -3. [1 punt]
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 1
[2x y = 1 y-2z=0 a) Comproveu que són paralleles. [1 punt] b) Calculeu l'equació vectorial del pla que les conté. [1 punt] 1. Siguin les rectes de R³ r: +1=Y-2-2 y-2. 2 i s: x + 1 = =z-1. òria 2017
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 1
Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no s'autoritzarà l'ús de calculadores o altres aparells que portin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació. 1. Siguin la…
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 6
6. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu l'equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax+By+ Cz = D) del pla que passa pel punt de coordenades (0, 0, 1) i és perpendicular als plans 3x+y=z=1 i x+y+2z = 5. [1 punt] b) Suposeu que un pla , és perpendicular a un segon pla i que el pla 7₂ és a la vegada…
Juny 2016, Sèrie 3, Problema 2
2. A R³, siguin la recta r que té per equació (x, y, z) = (1 + A, λ, 1 -λ) i el pla л d'equació 2x y + z = -2. a) Determineu la posició relativa de la recta r i el pla í. [1 punt] b) Calculeu la distància entre la recta r i el pla л. [1 punt] NOTA: Podeu calcular la distància d'un punt de coordenades (x, y, z) al pla…
Juny 2016, Sèrie 3, Problema 5
5. Considereu el tetraedre que té per vèrtexs els punts A = (x, 0, 1), B = (0, x, 1), C = (3, 0, 0) i D = (0, x, 0), amb 0<x<3. 1 2 a) Comproveu que el volum del tetraedre és donat per l'expressió V(x) = = ²√(-x² + (-x² + 3x). 6 [1 punt] b) Determineu el valor de x que fa que el volum sigui màxim i calculeu aquest…
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 2
2. Siguin a R³ el pla é d'equació x − y + 2z= 2 i els punts A = (3, −1, 2) i B = (1, 1, −2). a) Comproveu que els punts A i B són simètrics respecte del pla í. [1 punt] b) Si r és la recta dels punts P que té per equació P = B + λv, en què λ és un paràmetre real i v = (1, 1, 0), verifiqueu que els punts mitjans dels…
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 5
5. Siguin les rectes r: (x, y, z) = (2, 3, −3) + λ(1, −1,0) i s: i s: *−3 – x-3 2 -=y-5=z+2. a) Estudieu si les rectes r i s són paralleles o perpendiculars. [1 punt] b) Determineu la posició relativa de les rectes r is i calculeu l'equació paramètrica de la recta t que talla perpendicularment la recta r i la recta…
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 2
2. Siguir la recta de l'espai que té per equació r: *71 = 0+3 = zi sigui P el punt de coordenades (6, 0, -1). a) Trobeu l'equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax+By+ Cz = D) del pla que passa pel punt P i talla perpendicularment la recta 7'. [1 punt] b) Trobeu l'equació paramètrica del pla que passa pel punt…
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 4
4. Considereu a R³ la recta que té per equació r: (x, y, z) = (-4+ 22, -2, 1-λ) i els plans ₁ i ₂ d'equacions ₁: x + 2y + 2z = -1 i ₂: x-2y + 2z = -3, respectivament. a) Determineu la posició relativa de ₁ i ₂. [1 punt] b) Comproveu que tots els punts de la recta 7 estan situats a la mateixa distància dels plans π1 i…
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 3
3. Siguin el punt P = (2,0,2) i el pla d'equació x-y+z= 1. a) Calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa pel punt P i és perpendicular al pla π. [1 punt] b) Calculeu la distància del punt P al pla 7. [1 punt] examenselectivitat.cat
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 6
6. Siguin a R³ el punt P = (2,3,3) i la recta : (x,y,z) = (1,2,3)+(1,1,1). a) Calculeu l'equació paramètrica del pla que passa pel punt P i conté la recta 1. [1 punt] b) Calculeu l'equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+ Cz = D) del pla que passa pel punt Pi és perpendicular a la recta 7. [1 punt]…
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 2
2. A l'espai tridimensional considereu la recta r: (x, y, z) = (3 + 2a, -a, 3-a) i els plans л₁: x+y+z=-l i π₂: (x, y, z) = (2+ λ, 1-λ + μ, μ). a) Calculeu l'equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax + By + Сz = D) del pla л₂. [1 punt] b) Trobeu els dos punts de la recta r que equidisten dels plans ₁ i ₂. [1…
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 4
4. Siguin els plans de R³₁: -y + z = 2, π₂: −2x + y + z = 1 i л²: 2x − 2z = -1. a) Calculeu la posició relativa dels tres plans. [1 punt] b) Comproveu que el pla è és parallel a la recta definida per la intersecció dels plans i π₂. [1 punt] 1
Juny 2014, Sèrie 3, Problema 2
2. Considereu el punt A = (1, 2, 3). a) Calculeu el punt simètric del punt A respecte de la recta d'equació r: (x, y, z)=(3+2, 1,3-2). [1 punt] b) Calculeu el punt simètric del punt A respecte del pla que té per equació π: x+y+z = 3. [1 punt] examenselectivitat.cat
Juny 2014, Sèrie 3, Problema 5
5. Siguin r is les rectes de R³ d'equacions r: *²=y=²+¹ i s: (x, y, z) = (1 + 2a, 3a,4+3a), amb a E R. a) Comproveu que els punts mitjans dels segments que tenen un extrem situat sobre la recta r i l'altre extrem situat sobre la recta s formen un pla. [1 punt] b) Trobeu l'equació general (és a dir, que té la forma…
Juny 2014, Sèrie 4, Problema 3
3. Siguin els punts P = (1, 1, 0), Q = (1, 0, 1) i R = (0, 1, 1) i el pla : x + y + z = 4. a) Trobeu l'equació general (és a dir, que té la forma Ax+By+ Cz = D) del pla que passa pels punts P, Q i R. [1 punt] b) Si S és un punt de 7, comproveu que el volum del tetraedre de vèrtexs P, Q, R i S no depèn del punt S. [1…
Juny 2014, Sèrie 4, Problema 4
4. Donats els plans ₁: x 4y + z = 2m-1in₂: 2x − (2m + 2)y + 2z = 3m + 1. a) Determineu els valors de m perquè els plans ₁ i ₂ s'intersequin en una recta i calculeu un vector director de la recta resultant que no depengui de m. [1 punt] b) Sigui el pla : 3x 2y + 3z = 8. Estudieu la posició relativa del pla 7 amb la…
Setembre 2014, Sèrie 5, Problema 1
1. Siguin ris les rectes de R³ que tenen les equacions següents: z 3 2 x-3y-2_z+1 3 i s: r: x +5=y-5= -1 a) Estudieu el parallelisme i la perpendicularitat entre les rectes r is. [1 punt] b) Trobeu l'equació general (és a dir, que té la forma Ax+By+ Cz = D) del pla é que conté la recta r i és parallel a la recta s.…
Setembre 2014, Sèrie 5, Problema 5
5. Donats els vectors u = (2, -1, 0), v= (−1, 3, 4) i w= (0, 3a − 1, 4a), a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè els vectors u, v i w siguin linealment dependents. [1 punt] b) Calculeu els valors del paràmetre a perquè un tetraedre d'arestes u, vi w tingui un volum de 2/3 d'unitats cúbiques. [1 punt]
Setembre 2013, Sèrie 5, Problema 3
3. x-1 z+m Donats el pla л: x + 2y − z = 3 i la recta r: =y= 2 4 a) Comproveu que el vector característic (o normal) de л i el vector director de r són perpendiculars. b) Estudieu la posició relativa de é ir en funció del paràmetre m. [1 punt per cada apartat] stricte
Setembre 2013, Sèrie 5, Problema 5
5. Donats el pla л: 2x − y + 3z − 8 = 0 i el punt P = (6, −3, 7), a) Trobeu l'equació contínua de la recta que passa per P i és perpendicular a é. b) Trobeu el punt del pla é que està més proper al punt P. [1 punt per cada apartat]
Juny 2012, Sèrie 1, Problema 6
√3x+y=1 2x-y+mz = 1 6. Siguin :x-3y + 2z=1 i r:{ el valor del paràmetre m. [2 punts] Estudieu-ne la posició relativa segons
Juny 2012, Sèrie 3, Problema 1
1. Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans π₁:x=y+mz=1, ¹:x=y+z=miл: my+2z=3 tenen com a intersecció una recta. [2 punts] sitari
Juny 2012, Sèrie 3, Problema 3
[x+y+z=0 2x y + z = 10 a) Calculeu el punt d'intersecció entre el pla i la recta. b) Trobeu l'equació contínua de la recta s continguda en el pla л, que és perpendicular a la recta r i talla la recta r. [1 punt per apartat] 3. Donats el pla л:x-y+2z-5=0 i la recta r:{ cte Un
Juny 2012, Sèrie 3, Problema 6
6. Donats els punts P = (1, 0, 0), Q = (0, 2, 0), R= (0, 0, 3) i S= (1, 2, 3), a) Calculeu l'equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) del pla que conté els punts P, Q i R. b) Comproveu si els quatre punts són coplanaris (és a dir, si els quatre estan continguts en un mateix pla). [1 punt per apartat]
Setembre 2012, Sèrie 4, Problema 5
5. Considereu les rectes de l'espai següents: r: *+¹-y-1-²-1, x*-4-1-¹-²-2 −1 = Z S: X3 Z 2 a) Comproveu que són secants. b) Calculeu l'equació contínua de la recta que les talla i que és perpendicular a totes dues. [1 punt per cada apartat]
Juny 2011, Sèrie 1, Problema 1
1. Donada la recta r: [2x = y + 3z=2 x+z+1=0 a) Trobeu-ne un vector director. b) Calculeu l'equació contínua de la recta paral·lela a r que passa pel punt P= (1, 0, -1). [1 punt per cada apartat] rsitari
Juny 2011, Sèrie 1, Problema 5
5. Siguin r;:x-2-X-3-¹-² i r,₂:X+³=y+1=²2¹, x 3 = a) Comproveu que r, i r₂ són perpendiculars. b) Comproveu que es tallen mitjançant la determinació del punt de tall. [1 punt per cada apartat]
Setembre 2011, Sèrie 2, Problema 2
2x-y+3z=2 calculeu l'equació general (és a dir, de la forma x+Z+1=0 Ax+By+ Cz+D=0) del pla perpendicular a la recta que passa pel punt P= (1, 0, -1). [2 punts] 2. Donada la recta > niver
Setembre 2011, Sèrie 2, Problema 5
5. Considereu la recta r: x-1 3 =y+2. -1 =z-a i el pla л: 2x+y-5z=5. a) Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla é en funció del paràmetre a. b) Quan a=3, calculeu la distància de la recta r al pla л. [1 punt per cada apartat]
Juny 2011, Sèrie 4, Problema 2
2. Donat el pla л:2x+y-z=5: a) Calculeu l'equació del pla paral·lel al pla é que passa pel punt P= (1, 0, −1). b) Determineu també la distància entre el punt P i el pla л. [1 punt per cada apartat] versit
Juny 2011, Sèrie 4, Problema 5
5. Calculeu l'equació general (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) dels plans que [y=2 Z=1 contenen la recta r: [2 punts] i que formen un angle de 45° amb el pla z=0.
Juny 2010, Sèrie 1, Problema 1
1. Trobeu l'equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que (x-y-z=0 x-2y+z=0° conté la recta n [2 punts] x-1 2 = y = 2-z i és paral·lel a la recta ₂: itari
Juny 2010, Sèrie 1, Problema 4
4. Donades les rectes r x+5_y-1_z-2 2 3 = -4 i m₂: (2x+y+2z+5=0 |2x-y+z+11=0 a) Comproveu que són paral·leles. b) Trobeu l'equació general (és a dir, de la forma Ax+By+ Cz + D = 0) del pla que les conté. [1 punt per cada apartat]
Setembre 2010, Sèrie 2, Problema 2
2. Donats el pla л:5x + y + 3z = 4 i la recta_ri relativa en funció del paràmetre a. [2 punts] (ax-y=2 |2y+z=-3' estudieu-ne la posició ersita
Setembre 2010, Sèrie 2, Problema 6
6. Considereu la recta r x+4 -2 y-1 −1 = z-1. a) Trobeu els dos punts, A i B, de la recta r que estan situats a una distància d = √6 del punt P = (-1, 1, 2). b) Trobeu l'àrea del triangle de vèrtexs A, B i P. [1 punt per cada apartat]
Juny 2010, Sèrie 4, Problema 1
1. Donats el pla л:x + 2y + 3z-4 = 0 i els punts P = (3, 1, -2) i Q = (0, 1, 2): a) Calculeu l'equació contínua de la recta perpendicular al pla é que passa pel punt P. b) Calculeu l'equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla perpendicular a л que passa pels punts P i Q. [1 punt per cada…
Juny 2010, Sèrie 4, Problema 6
6. Siguin ū₁ = (-1, 3, 2), ū₂ = (2, −1, 4) i ū₂ = (a + 1, a − 1, 4a + 2) tres vectors de l'es1 2 3 pai vectorial R³. 3 a) Trobeu el valor del paràmetre a per al qual el vector u, és combinació lineal dels vectors u, i u 2° b) Comproveu que per a a = 0 el conjunt {ū₁, ū₂, ūž} és linealment independent. [1 punt per…
Juny 2010, Sèrie 5, Problema 2
y-3_z+3. 2 -3 a) Trobeu l'equació contínua de la recta que passa pel punt P i talla perpendicularment la recta r. b) Calculeu la distància del punt P a la recta r. [1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b] 2. Donats el punt P = (1, 0, −2) i la recta r: x-5 2 nivers
Juny 2010, Sèrie 5, Problema 5
5. Siguin ris dues rectes d'equacions y-2 -1 z-a 3 r: (x, y, z)=(-4, 3, 4)+(2, -1, 1), s:x+1= a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè aquestes rectes es tallin. b) En el cas en què es tallen, trobeu l'equació general (és a dir, de la forma Ax+By+ Cz + D = 0) del pla que les conté. [1,5 punts per l'apartat a; 0,5…